高端精品高中数学二轮专题-等比数列教案

等比数列

知识梳理.等比数列

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．

“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

常用结论

4．记住等比数列的几个常用结论

(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。

题型一. 等比数列的基本量

1．若等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝　 　；前n项和Sn＝　 　．

2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8＝　   　．

题型二. 等比数列的性质

1．已知正项等比数列{an}中，a3，若a1+a2+a3＝7，则a8＝（　　）

A．32 B．48 C．64 D．128

2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　）

A． B． C．2 D．3

3．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e5，则lna1+lna2+…+lna20＝　   　．

题型三.等比数列的前n项经典结论

1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40等于（　　）

A．80 B．30 C．26 D．16

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（　　）

A． B． C． D．

3．在等比数列{an}中，已知n∈N+，且a1+a2+…+an＝2n﹣1，那么a12+a22+…+an2为（　　）

A． B． C． D．

题型四. 证明等比数列

1．已知数列{an}，Sn是其前n项和，并且Sn+1＝4an+2（n＝1，2，…），a1＝1．

（1）设数列bn＝an+1﹣2an（n＝1，2，…）求证：数列{bn}是等比数列；

（2）设数列cn（n＝1，2，…）求证：数列{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和．

2．数列{an}的前n项和为Sn，已知．

（1）试写出a2，S2，a3；

（2）设，求证：数列{bn}是等比数列；

（3）求出数列{an}的前n项和为Sn及数列{an}的通项公式．

题型五. 等差、等比综合

1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）

A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8

2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且S5•S6＝﹣15，则d的取值范围是　                　，若a1＝﹣7，则d的值为　                　．

3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝﹣55，则nSn的最小值为　     　．

4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a3﹣a2＝5，则a4+8a2的最小值为（　　）

A．40 B．20 C．10 D．5

5．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn，满足S4﹣2S2＝3，则S6﹣S4的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．12

6．数列{an}满足，，那么a2018＝（　　）

A．﹣1 B． C．1 D．2

7．已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）恒成立，则S15等于（　　）

A．210 B．211 C．224 D．225

8．已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1＝0，则S2019＝（　　）

A．2019 B． C．4037 D．

9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若∃n∈N*使得（Sn）k≥3n﹣6成立，则实数 k的取值范围是　                　．

10．已知数列{an}满足a1，an+1．设bn，n∈N*，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　                　．

11．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列{|log2an|}前10项和为　   　．

12．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N*），若bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝　             

课后作业. 等比数列

1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（　　）

A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1

2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项的和，且9S3＝S6，则数列的前5项的和为（　　）

A． B． C． D．

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则　              　．

4．已知等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为（　　）

A．32 B．64 C．128 D．256

5．若数列{an}满足an+1＝（2|sin|﹣1）an+2n，则a1+a2+…+a8＝（　　）

A．136 B．120 C．68 D．40

6．已知数列{an}满足a1＝﹣2，an+1＝3an+6．

（1）证明：数列{an+3}是等比数列；

（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn．