高端精品高中数学二轮专题-导数与函数的极值、最值教案

导数与函数的极值、最值

知识梳理.极值与最值

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

题型一. 极值、最值的概念

1．函数y＝xsinx+cosx的一个极小值点为（　　）

A．x B．x C．x＝π D．x

2．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1

3．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）

A．∃x0∈R，f（x0）＝0 

B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 

C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减 

D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）＝0

4．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣4x+5在x＝﹣2处取极值（a∈R）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值．

题型二.已知极值、最值求参

考点1.利用二次函数根的分布

1．若函数f（x）＝x3﹣3bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，0）

2．已知函数f（x）x3ax2+x在区间（，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（2，） D．（2，）

考点2.参变分离

3．若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，） B．[2，） C．（2，） D．[2，）

4．已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C．（0，2] D．[2，+∞）

考点3.分类讨论

5．已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值为3，则实数a＝　 　．

6．已知函数．

（1）讨论函数f（x）的极值点；

（2）若f（x）极大值大于1，求a的取值范围．

7．已知函数f（x）＝lnx（a∈R）

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．

考点4.初探隐零点——设而不求，虚设零点

8．已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）

A． B． 

C． D．

9．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在上恰有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则的取值范围为（　　）

A． B． 

C． D．

10．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

课后作业.极值、最值

1．若函数f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣∞，﹣3]

2．已知函数有三个极值点，则a的取值范围是（　　）

A．（0，e） B． C．（e，+∞） D．

3．已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（t）＝g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）

A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）

4．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a＞0）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的最大值为（　　）

A．﹣1﹣ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．3﹣ln2

5．已知函数，a∈R．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．