2021 年湖北省襄阳市老河口市中考数学适应性试卷（含答案）

这是一份2021 年湖北省襄阳市老河口市中考数学适应性试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了 选择题等内容，欢迎下载使用。
有一项是符合题目要求的， 请将其标号在答题卡上涂黑作答．
1． 下列各数中， 绝对值最大的数是（
）
A． ﹣ 3 B． ﹣ 2 C． 0 D． 2
2． 下列各式计算结果是 a 6 的是（
）
A． a 3 +a 3
B． a 12 ÷a 2
C． a 2 •a 3
D． （﹣ a 3 ）
2
3． 如图所示， 已知 AB∥CD， EF 平分∠CEG， ∠1＝80° ， 则∠2 的度数为（
）
A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°
4． 如图， 是由 7 个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体， 若从标有①、 ②、 ③、 ④的四
个小正方体中取走一个后， 余下几何体与原几何体的主视图相同， 则取走的正方体是
（
）
A． ① B． ② C． ③
D． ④
5． 不等式组 的解集， 在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6． 下列说法正确的是（
）
A． “购买一张彩票， 中奖” 是不可能事件
B． “从 ， ， π， 0.2 这四个数中随机选一个数， 这个数是无理数” 是随机事件
C． 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次， 有 3 次正面朝上， 说明正面朝上的概率是 0.3
D． 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果： 中靶与不中靶， 所以他击中靶的概率是
0.5
7． 下列图形中， 是中心对称图形， 但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
8． 分式方程 ﹣ 1＝ 的解是（
）
A． x＝1 B． x＝﹣ 1+
C． x＝2 D． 无解
9． 如图， 在△ABC 中， 点 D 在 BC 上， DE∥AC， DF∥AB， 下列四个判断中不正确的是（
）
A． 四边形 AEDF是平行四边形
B． 若∠BAC＝90° ， 则四边形 AEDF 是矩形
C． 若 AD⊥BC 且 AB＝AC， 则四边形 AEDF是菱形
D． 若 AD 平分∠BAC， 则四边形 AEDF是矩形
10． 已知等腰三角形的周长是 10， 底边长 y 是腰长 x 的函数， 则下列图象中， 能正确反映 y
与 x 之间函数关系的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
二、 填空题（本大题共 6 个小题， 每小题 3 分， 共 18 分） 把答案填在答题卡的相应位置上．
11． 截止 2021 年 4 月 中国高速路总里程达 16 万公里． 请将“16 万” 用科学记数法表示记
为 ．
12． 某种服装原价每件 80 元， 经两次降价， 现售价每件 64.8 元， 这种服装平均每件降价的
百分率是 ．
13． 从 A， B， C， D 四名同学中， 随机抽取三人代表某学校参加文艺表演， 抽到 A， B， C
三人的概率是 ．
14． 用长为 12 米的铝合金条制成如图所示的窗框， 若窗框的高为 x 米， 当 x 等于
时
窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计） ．
15． PA， PB， CD 是⊙O 的切线， A， B， E 是切点， CD 分别交 PA， PB 于 C， D 两点， 若
∠APB＝50° ， 则∠COD 的度数为 ．
16． 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E， F 分别在 AD， BC 上， 将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠使
点 D 与点 B 重合， 点 C 的对应点是点 C′ ． 若 AB＝4， EF＝2 ， 则 AD 的长等于
．
三、 解答题（本大题共 9 个小题， 共 72 分． 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤，
并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． ）
17． 先化简， 再求值（ ﹣ 2） ÷（ ﹣ ） ， 其中 a＝ + ， b＝ ﹣ ．
18． 某校为了了解 A， B 两个班的学生数学学习情况， 对数学进行了一次测试， 获得了两个
班的成绩（百分制） ， 并对成绩进行整理、 描述和分析， 下面给出了部分信息．
①A， B 两班学生（两个班的人数相同） 数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分
成 5 组： x＜60， 60≤x＜70， 70≤x＜80， 80≤x＜90， 90≤x≤100） ；
②A， B 两班学生测试成绩在 80≤x＜90 这一组的数据如下：
A 班： 80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B 班： 80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
A， B 两班学生测试成绩的平均数、 中位数、 方差如表：
平均数 中位数
方差
A 班 80.6 m
96.9
B 班 80.8 n
153.3
根据以上信息， 回答问题：
（1） A 班有 人， 其中成绩在 70≤x＜80 这一组的有 人；
（2） 表中 m＝ ， n＝ ；
（3） 从两个方面来分析 A， B 两班的成绩：
① ；
② ．
19． 如图， AE∥BF， AC 平分∠BAE， 且交 BF 于点 C．
（1） 作∠ABF 的平分线交 AE 于点 D（尺规作图， 保留痕迹， 不写作法） ；
（2） 根据（1） 中作图， 连接 CD， 求证： 四边形 ABCD 是菱形．
20． 如图， 海面上一艘船由西向东航行， 在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰
角为 31° ， 再向东继续航行 30m 到达 B 处， 测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45° ， 根
据测得的数据， 计算这座灯塔的高度 CD（结果取整数） ．
参考数据： sin31° ≈0.52， cs31° ≈0.86， tan31° ≈0.60．
21． 小明在学习了反比例函数的图象与性质后， 进一步研究了函数 y＝﹣ 的图象与性
质． 其探究过程如下：
（1） 绘制函数图象， 如图．
列表： 下表是 x 与 y 的几组对应值， 其中 m＝ ；
x
… ﹣ 3
﹣ 2 ﹣ 1
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣ 1 ﹣ 2 m
﹣ 1
﹣
﹣
…
描点： 根据表中各组对应值（x， y） ， 在平面直角坐标系中描出了各点；
连线： 用平滑的曲线顺次连接各点， 画出了部分图象， 请你把图象补充完整；
（2） 通过观察图象， 写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
22． 如图， AB 是⊙O 的直径， OC⊥AD， CE⊥AB 于点 E， AC 平分∠PAD．
（1） 求证： PA 是⊙O 的切线；
（2） 若 OE＝1， CD＝2， 求 的长．
23． 倡导垃圾分类， 共享绿色生活． 为了对回收的垃圾进行更精准的分类， 某机器人公司研
发出 A 型和 B 型两款垃圾分拣机器人， 已知 2 台 A 型机器人和 5 台 B 型机器人同时工作
2 小时共分拣垃圾 3.6 吨， 3 台 A 型机器人和 2 台 B 型机器人同时工作 5 小时共分拣垃圾
8 吨．
（1） 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2） 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 A 型和 B 型垃圾分拣机器人， 机器人公司
的报价如下表：
型号
原价 购买量少于 30 台
购买量不少于 30 台
A 型 20 万元/台 原价购买
打九折
B 型 12 万元/台 原价购买
打八折
①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾 20 吨． 设其中购买 A 型机器人 x 台（10≤x
≤35） ， 购买两种机器人总费用为 W万元． 求 W与 x 的函数关系式， 并说明如何购买总
费用最少；
②为了加快垃圾分拣速度， 垃圾处理厂计划用不超过 140 万元增购这两种机器人共 10 台，
机器人公司全部以打折后价格销售， 这 10 台机器人每小时最多处理多少吨垃圾？
24． 在矩形 ABCD 中， ＝k（k 为常数） ， 点 P 是对角线 BD 上一动点（不与 B， D 重合） ，
将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转 90° 与射线 CB 交于点 E， 连接 AE．
（1） 特例发现： 如图 1， 当 k＝1 时， 将点 P 移动到对角线交点处， 可发现点 E 与点 B
重合， 则 ＝
， ∠AEP＝
； 当点 P 移动到其它位置时， ∠AEP 的大小 （填
“改变” 或“不变” ） ；
（2） 类比探究： 如图 2， 若 k≠1 时， 当 k 的值确定时， 请探究∠AEP 的大小是否会随着
点 P 的移动而发生变化， 并说明理由；
（3） 拓展应用： 当 k≠1 时， 如图 2， 连接 PC， 若 PC⊥BD， AE∥PC， PC＝2， 求 AP
的长．
25． 在平面直角坐标系中， 抛物线解析式为 y＝﹣ 2x 2 +4mx﹣ 2m 2 +2， 直线 l： y＝﹣ x+1 与 x
轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B．
（1） 如图 1， 当抛物线经过点 A 且与 x 轴的两个交点都在 y 轴右侧时， 求抛物线的解析
式．
（2） 在（1） 的条件下， 若点 P 为直线 l 上方的抛物线上一点， 过点 P 作 PQ⊥l 于 Q，
求 PQ 的最大值．
（3） 如图 2， 点 C（﹣ 2， 0） ， 若抛物线与线段 AC 只有一个公共点， 求 m 的取值范围．
参考答案
一、 选择题： 本大题共 10 个小题， 每小题 3 分， 共 30 分.在每小题给出的四个选项中， 只
有一项是符合题目要求的， 请将其标号在答题卡上涂黑作答．
1． 下列各数中， 绝对值最大的数是（
）
A． ﹣ 3 B． ﹣ 2 C． 0 D． 2
【分析】 分别求出绝对值， 即可解答．
解： |﹣ 3|＝3， |﹣ 2|＝2， |0|＝0， |2|＝2，
∴3＞2＞0，
∴绝对值最大的数﹣ 3，
故选： A．
2． 下列各式计算结果是 a 6 的是（
）
A． a 3 +a 3
B． a 12 ÷a 2
C． a 2 •a 3
D． （﹣ a 3 ）
2
【分析】 根据幂的乘方、 同底数幂的乘法和除法的运算法则以及合并同类项计算后利用
排除法求解．
解： A、 a 3 +a 3 ＝2a 3 ， 结果不符合；
B、 a 12 ÷a 2 ＝a 10 ， 结果不符合；
C、 a 2 •a 3 ＝a 5 ， 结果不符合；
D、 （﹣ a 3 ）
2 ＝a 6 ， 结果符合；
故选： D．
3． 如图所示， 已知 AB∥CD， EF 平分∠CEG， ∠1＝80° ， 则∠2 的度数为（
）
A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°
【分析】 由角平分线的定义， 结合平行线的性质， 易求∠2 的度数．
解： ∵EF 平分∠CEG，
∴∠CEG＝2∠CEF
又∵AB∥CD，
∴∠2＝∠CEF＝（180° ﹣ ∠1） ÷2＝50° ，
故选： C．
4． 如图， 是由 7 个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体， 若从标有①、 ②、 ③、 ④的四
个小正方体中取走一个后， 余下几何体与原几何体的主视图相同， 则取走的正方体是
（
）
A． ① B． ②
C． ③ D． ④
【分析】 根据题意得到原几何体的主视图， 结合主视图选择．
解： 原几何体的主视图是：
．
故取走的正方体是①．
故选： A．
5． 不等式组 的解集， 在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】 分别求出每一个不等式的解集， 根据同大取大、 同小取小、 大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集， 再在数轴上表示出来即可求解．
解： 解不等式 3x＞﹣ 6， 得： x＞﹣ 2，
解不等式 ≤1， 得： x≤2，
故不等式组的解集为﹣ 2＜x≤2．
故选： B．
6． 下列说法正确的是（
）
A． “购买一张彩票， 中奖” 是不可能事件
B． “从 ， ， π， 0.2 这四个数中随机选一个数， 这个数是无理数” 是随机事件
C． 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次， 有 3 次正面朝上， 说明正面朝上的概率是 0.3
D． 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果： 中靶与不中靶， 所以他击中靶的概率是
0.5
【分析】 根据概率的意义进行判定即可得出答案．
解： A． “购买一张彩票， 中奖” 是随机事件， A 选项说法错误， 故 A 选项不符合题意；
B． “从 ， ， π， 0.2 这四个数中随机选一个数， 这个数是无理数” 是随机事件， B
选项说法正确， 故 B 选项符合题意；
C． 抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次， 有 3 次正面朝上， 说明正面朝上的概率是 0.3， C 选
项说法错误， 有 3 次正面朝上， 不能说明正面朝上的概率是 0.3， 随着实验次数的增多越
来越接近于理论数值 0.5， 故 C 选项不符合题意；
D． 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果： 中靶与不中靶， 所以他击中靶的概率是
0.5， D 选项说法不正确， 故 D 选项不符合题意．
故选： B．
7． 下列图形中， 是中心对称图形， 但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解： A、 是中心对称图形， 也是轴对称图形， 故本选项错误；
B、 是中心对称图形， 但不是轴对称图形， 故本选项正确；
C、 不是中心对称图形， 但是轴对称图形， 故本选项错误；
D、 不是中心对称图形， 但是轴对称图形， 故本选项错误．
故选： B．
8． 分式方程 ﹣ 1＝ 的解是（
）
A． x＝1 B． x＝﹣ 1+
C． x＝2 D． 无解
【分析】 分式方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到 x 的值， 经检验即可
得到分式方程的解．
解： 去分母得： x（x+2） ﹣ （x﹣ 1） （x+2） ＝3，
去括号得： x 2 +2x﹣ x 2 ﹣ x+2﹣ 3＝0，
解得： x＝1，
经检验 x＝1 是增根， 分式方程无解．
故选： D．
9． 如图， 在△ABC 中， 点 D 在 BC 上， DE∥AC， DF∥AB， 下列四个判断中不正确的是（
）
A． 四边形 AEDF是平行四边形
B． 若∠BAC＝90° ， 则四边形 AEDF 是矩形
C． 若 AD⊥BC 且 AB＝AC， 则四边形 AEDF是菱形
D． 若 AD 平分∠BAC， 则四边形 AEDF是矩形
【分析】 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 有一个角是 90° 的平行四边形
是矩形， 有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 四个角都是直角， 且四个边都相等的是
正方形， 逐项分析即可．
解： 因为 DE∥CA， DF∥BA， 所以四边形 AEDF 是平行四边形． 故 A 正确．
∠BAC＝90° ， 四边形 AEDF是平行四边形， 所以四边形 AEDF 是矩形． 故 B 正确．
若 AD⊥BC 且 AB＝AC， 则四边形 AEDF 是菱形， 故 C 正确；
因为 AD 平分∠BAC， 所以 AE＝DE， 又因为四边形 AEDF是平行四边形， 所以是菱形． 故
D 错误．
故选： D．
10． 已知等腰三角形的周长是 10， 底边长 y 是腰长 x 的函数， 则下列图象中， 能正确反映 y
与 x 之间函数关系的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】 先根据三角形的周长公式求出函数关系式， 再根据三角形的任意两边之和大于
第三边， 三角形的任意两边之差小于第三边求出 x 的取值范围， 然后选择即可．
解： 由题意得， 2x+y＝10，
所以， y＝﹣ 2x+10，
由三角形的三边关系得， ，
解不等式①得， x＞2.5，
解不等式②得， x＜5，
所以， 不等式组的解集是 2.5＜x＜5，
正确反映 y 与 x 之间函数关系的图象是 D 选项图象．
故选： D．
二、 填空题（本大题共 6 个小题， 每小题 3 分， 共 18 分） 把答案填在答题卡的相应位置上．
11． 截止 2021 年 4 月 中国高速路总里程达 16 万公里． 请将“16 万” 用科学记数法表示记
为 1.6×10 5
．
【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式， 其中 1≤|a|＜10， n 为整数． 确定 n
的值时， 要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相
同． 当原数绝对值≥10 时， n 是正数； 当原数的绝对值＜1 时， n 是负数．
解： 16 万＝160000＝1.6×10 5 ，
故答案为： 1.6×10 5 ．
12． 某种服装原价每件 80 元， 经两次降价， 现售价每件 64.8 元， 这种服装平均每件降价的
百分率是 10% ．
【分析】 设这种服装平均每件降价的百分率是 x， 则降一次价变为 80（1﹣ x） ， 降两次
价变为 80（1﹣ x）
2 ， 而这个值等于 64.8， 从而得方程， 问题得解．
解： 设这种服装平均每件降价的百分率是 x， 由题意得
80（1﹣ x）
2 ＝64.8
∴（1﹣ x）
2 ＝0.81
∴1﹣ x＝0.9 或 1﹣ x＝﹣ 0.9
∴x＝10%或 x＝1.9（舍）
故答案为 10%．
13． 从 A， B， C， D 四名同学中， 随机抽取三人代表某学校参加文艺表演， 抽到 A， B， C
三人的概率是
．
【分析】 先列出所有等可能结果， 从中找到符合条件的结果数， 再根据概率公式求解即
可．
解： 根据题意， 所有等可能情况有： （A， B， C） 、 （A， B， D） 、 （A， C， D） 、 （B，
C， D） 这 4 种结果，
其中抽到 A， B， C 三人的只有 1 种结果，
所以抽到 A， B， C 三人的概率为 ，
故答案为： ．
14． 用长为 12 米的铝合金条制成如图所示的窗框， 若窗框的高为 x 米， 当 x 等于
2
时
窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计） ．
【分析】 先根据题意得出窗框的长为（6﹣ x） 米， 再根据长方形的面积公式得出其面
积 S 关于 x 的函数解析式， 并配方成顶点式， 利用二次函数的性质可得答案．
解： 根据题意知， 窗框的长为（12﹣ 3x） ÷2＝6﹣ x（米） ，
∴窗框的透光面积 S＝x（6﹣ x）
＝﹣ x 2 +6x
＝﹣ （x﹣ 2）
2 +6，
∵a＝﹣ ＜0，
∴当 x＝2 时， S 取得最大值， 最大值为 6，
即当 x 等于 2 时窗户的透光面积最大，
故答案为： 2．
15． PA， PB， CD 是⊙O 的切线， A， B， E 是切点， CD 分别交 PA， PB 于 C， D 两点， 若
∠APB＝50° ， 则∠COD 的度数为 65° 或 115° ．
【分析】 根据题意画出符合条件的两种图形， 求出∠AOB 的值， 求出∠DOC＝∠DOE+
∠EOC＝ ∠AOE+ ∠BOE， 代入即可求出答案．
解： 分为两种情况：
①如图 1， 连接 OA、 OB、 OE，
∵PA、 PB 是⊙O 的切线， A、 B 为切点，
∴OA⊥PA， OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90° ，
∵∠APB＝50° ，
∴∠AOB＝360° ﹣ 90° ﹣ 90° ﹣ 50° ＝130° ，
∵CD 切⊙O 于 E，
∴OE⊥CD，
∴∠DEO＝∠CEO＝90° ，
∵PA、 PB、 CD 是⊙O 的切线， 切点是 A、 B、 E，
∴∠ACO＝∠ECO， ∠EDO＝∠BDO，
∵∠AOC＝180° ﹣ ∠OAC﹣ ∠ACO， ∠EOC＝180° ﹣ ∠OEC﹣ ∠ECO，
∴∠AOC＝∠EOC， 同理可证： ∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠EOC+∠EOD＝ ∠AOB＝ ×130° ＝65° ；
②如图 2，
∠COD＝ ×（360° ﹣ 130° ） ＝115° ；
故答案为： 65° 或 115° ．
16． 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E， F 分别在 AD， BC 上， 将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠使
点 D 与点 B 重合， 点 C 的对应点是点 C′ ． 若 AB＝4， EF＝2 ， 则 AD 的长等于
8
．
【分析】 过点 F作 FM⊥AD 交于点 M， 由折叠可知， BE＝ED， CD＝C'B， CF＝C'F， 先
求出 RM＝2， 再设 CF＝x， 则 C'F＝x， BE＝2+x， 在 Rt△C'BF 中， BF＝ ， 在
Rt△ABF 中， AE＝ ， 由 AE+EM＝BF， 可得
+2＝ ，
求出 x 的值， 即可求解．
解： 过点 F 作 FM⊥AD 交于点 M，
由折叠可知， BE＝ED， CD＝C'B， CF＝C'F，
∵AB＝4，
∴BC'＝4， MF＝4，
∵EF＝2 ，
∴EM＝ ＝ ＝2，
设 CF＝x， 则 C'F＝x， BE＝2+x，
∵∠C'＝∠C＝90° ，
在 Rt△C'BF 中， BF＝ ＝ ，
在 Rt△ABF中， AE＝ ＝ ，
∵AE+EM＝BF，
∴ +2＝ ，
解得 x＝3，
∴BF＝5， CF＝3，
∴AD＝8，
故答案为： 8．
三、 解答题（本大题共 9 个小题， 共 72 分． 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤，
并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． ）
17． 先化简， 再求值（ ﹣ 2） ÷（ ﹣ ） ， 其中 a＝ + ， b＝ ﹣ ．
【分析】 先计算括号内的分式减法， 再计算除法即可化简原式， 继而将 a、 b 的值代入计
算即可．
解： （ ﹣ 2） ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝a﹣ b，
当 ， 时，
原式＝ ＝ ．
18． 某校为了了解 A， B 两个班的学生数学学习情况， 对数学进行了一次测试， 获得了两个
班的成绩（百分制） ， 并对成绩进行整理、 描述和分析， 下面给出了部分信息．
①A， B 两班学生（两个班的人数相同） 数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分
成 5 组： x＜60， 60≤x＜70， 70≤x＜80， 80≤x＜90， 90≤x≤100） ；
②A， B 两班学生测试成绩在 80≤x＜90 这一组的数据如下：
A 班： 80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B 班： 80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
A， B 两班学生测试成绩的平均数、 中位数、 方差如表：
平均数 中位数
方差
A 班 80.6 m
96.9
B 班 80.8 n
153.3
根据以上信息， 回答问题：
（1） A 班有 40 人， 其中成绩在 70≤x＜80 这一组的有 10 人；
（2） 表中 m＝
81
， n＝
85
；
（3） 从两个方面来分析 A， B 两班的成绩：
① 从平均分来看， A， B 两班差不多 ；
② 从中位数来看， B 班 85 分以上学生数比 A 班多 ．
【分析】 （1） 根据频率分布直方图计算即可；
（2） 将一组数据按照从小到大（或从大到小） 的顺序排列， 如果数据的个数是奇数， 则
处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 如果这组数据的个数是偶数， 则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数；
（3） 从中位数与方差两个方面分别进行分析．
解： （1） 由题意可知， A 班有： 5+2+3+22+8＝40（人） ； 其中成绩在 70≤x＜80 这一组
的有： 40﹣ （1+7+13+9） ＝10（人） ，
故答案为： 40； 10；
（2） A 班共 40 名同学， 中位数落在 80≤x＜90， 中位数 m＝ ＝81，
B 班共 40 名同学， 中位数落在 80≤x＜90， 中位数 n＝ ＝85，
故 m、 n 的值分别为 81， 85；
（3） 从平均分来看， A， B 两班差不多； 从中位数来看， B 班 85 分以上学生数比 A 班多；
从方差看， A 班方差小， 学生成绩差距较小， B 班方差大， 说明 B 班学生发展不均衡． （任
选两点） ．
故答案为： 从平均分来看， A， B 两班差不多； 从中位数来看， B 班 85 分以上学生数比 A
班多．
19． 如图， AE∥BF， AC 平分∠BAE， 且交 BF 于点 C．
（1） 作∠ABF 的平分线交 AE 于点 D（尺规作图， 保留痕迹， 不写作法） ；
（2） 根据（1） 中作图， 连接 CD， 求证： 四边形 ABCD 是菱形．
【分析】 （1） 利用基本作图作∠ABF的平分线；
（2） 利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB＝∠BAC， 则 AB＝BC， 同理可证 AB＝AD，
所以 AD＝BC， 于是可判断四边形 ABCD 是平行四边形， 然后利用 AB＝BC 可判断四边
形 ABCD 是菱形．
【解答】 （1） 解： 如图， 射线 BD 为所求；
（2） 证明： ∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC 平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC．
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
同理可证 AB＝AD，
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形 ABCD 是菱形．
20． 如图， 海面上一艘船由西向东航行， 在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰
角为 31° ， 再向东继续航行 30m 到达 B 处， 测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45° ， 根
据测得的数据， 计算这座灯塔的高度 CD（结果取整数） ．
参考数据： sin31° ≈0.52， cs31° ≈0.86， tan31° ≈0.60．
【分析】 根据正切的定义用 CD 表示出 AD， 根据题意列出方程， 解方程得到答案．
解： 在 Rt△CAD 中， tan∠CAD＝ ，
则 AD＝ ≈ CD，
在 Rt△CBD 中， ∠CBD＝45° ，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴ CD＝CD+30，
解得， CD＝45，
答： 这座灯塔的高度 CD 约为 45m．
21． 小明在学习了反比例函数的图象与性质后， 进一步研究了函数 y＝﹣ 的图象与性
质． 其探究过程如下：
（1） 绘制函数图象， 如图．
列表： 下表是 x 与 y 的几组对应值， 其中 m＝ ﹣ 2 ；
x
… ﹣ 3
﹣ 2 ﹣ 1
﹣
1 2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣ 1 ﹣ 2
m ﹣ 1
﹣
﹣
…
描点： 根据表中各组对应值（x， y） ， 在平面直角坐标系中描出了各点；
连线： 用平滑的曲线顺次连接各点， 画出了部分图象， 请你把图象补充完整；
（2） 通过观察图象， 写出该函数的两条性质：
① 图象关于 y 轴对称 ；
② 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 ．
【分析】 （1） 把 x＝ 代入解析式即可求得；
（2） 根据图象即可求得．
解： （1） 把 x＝ 代入 y＝﹣ 得， m＝﹣ ＝﹣ 2，
函数图象如图，
故答案为： ﹣ 2；
（2） 性质： ①图象关于 y 轴对称； ②当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x＞0 时， y
随 x 的增大而增大，
故答案为： 图象关于 y 轴对称； 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x＞0 时， y 随 x 的
增大而增大．
22． 如图， AB 是⊙O 的直径， OC⊥AD， CE⊥AB 于点 E， AC 平分∠PAD．
（1） 求证： PA 是⊙O 的切线；
（2） 若 OE＝1， CD＝2， 求 的长．
【分析】 （1） 根据垂径定理得出 AC＝CD， 则∠CAD＝∠D， 根据圆周角定理得出∠B
＝∠D， 结合 AC 平分∠PAD， 进而得到∠B＝∠PAC， 即可得出∠PAB＝90° ， 据此即
可得解；
（2） 设的半径为 r， 根据勾股定理得出 2 2 ﹣ （r﹣ 1）
2 ＝r 2 ﹣ 1 2 ， 解得 r＝2， 解直角三角
形得出∠AOC＝60° ， 根据弧长公式求解即可．
【解答】 （1） 证明： ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90° ，
∴∠B+∠BAC＝90° ，
∵AC 平分∠PAD，
∴∠PAC＝∠CAD，
∵OC⊥AD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠PAC，
∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90° ，
∴PA⊥AB，
又∵AB 是⊙O 的直径，
∴PA 是⊙O 的切线；
（2） 解： 设的半径为 r，
∵AC＝CD， CD＝2，
∴AC＝CD＝2，
在 Rt△ACE 和 Rt△OCE 中， 由勾股定理得 AC 2 ﹣ AE 2 ＝CE 2 ＝OC 2 ﹣ OE 2 ， OE＝1，
∴2 2 ﹣ （r﹣ 1）
2 ＝r 2 ﹣ 1 2 ，
解得 r 1 ＝2， r 2 ＝﹣ 1（舍去） ，
在 Rt△COE 中， cs∠COE＝ ，
∴∠AOC＝60° ，
∴ ＝ ＝ ．
23． 倡导垃圾分类， 共享绿色生活． 为了对回收的垃圾进行更精准的分类， 某机器人公司研
发出 A 型和 B 型两款垃圾分拣机器人， 已知 2 台 A 型机器人和 5 台 B 型机器人同时工作
2 小时共分拣垃圾 3.6 吨， 3 台 A 型机器人和 2 台 B 型机器人同时工作 5 小时共分拣垃圾
8 吨．
（1） 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2） 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 A 型和 B 型垃圾分拣机器人， 机器人公司
的报价如下表：
型号 原价
购买量少于 30 台 购买量不少于 30 台
A 型 20 万元/台
原价购买 打九折
B 型 12 万元/台
原价购买 打八折
①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾 20 吨． 设其中购买 A 型机器人 x 台（10≤x
≤35） ， 购买两种机器人总费用为 W万元． 求 W与 x 的函数关系式， 并说明如何购买总
费用最少；
②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过 140 万元增购这两种机器人共 10 台，
机器人公司全部以打折后价格销售， 这 10 台机器人每小时最多处理多少吨垃圾？
【分析】 （1） 设 1 台 A 型机器人每小时分拣 a 吨， 1 台 B 型机器人每小时分拣 b 吨， 根
据题意列出方程组即可求出答案；
（2） ①购买 B 型机器人 y 台， 得出 100﹣ 2x， 然后结合一次函数的性质分析最值；
②设购买 A 型 m 台， 则购买 B 型（10﹣ m） 台， 根据题意列出不等式从而求解．
解： （1） 设 1 台 A 型机器人每小时分拣 a 吨， 1 台 B 型机器人每小时分拣 b 吨．
根据题意， 得 ，
解得， ，
答： 1 台 A 型机器人每小时分拣 0.4 吨， 1 台 B 型机器人每小时分拣 0.2 吨；
（2） ①设购买 B 型机器人 y 台， 则 0.4x+0.2y＝20，
整理得 y＝100﹣ 2x，
∴当 x＝10 时， y＝80；
当 x＝30 时， y＝40；
当 x＝35 时， y＝30；
∵﹣ 2＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴当 10≤x＜30 时， 40＜y≤80；
当 30≤x≤35 时， 30≤y≤40，
∴当 10≤x＜30 时， W＝20x+12×0.8（100﹣ 2x） ＝0.8x+960，
∵0.8＞0，
∴W随 x 的增大而增大，
∴当 x＝10 时， W取最小值 968，
∴当 30≤x≤35 时， W＝20×0.9x+12×0.8（100﹣ 2x） ＝﹣ 1.2x+960．
∵﹣ 1.2＜0， ∴W随 x 的增大而减小，
∴当 x＝35 时， W取最小值 918．
∵918＜968，
∴当 x＝35， y＝30 时 W最小．
综上可知 W＝ ， 购买 A 型 35 台， B 型 30 台总费用最少；
②设购买 A 型 m 台， 则购买 B 型（10﹣ m） 台，
每小时可分拣垃圾 0.4m+0.2（10﹣ m） ＝（0.2m+2） （吨） ．
根据题意可知 20×0.9m+12×0.8（10﹣ m） ≤140，
解得 m≤5 ．
∵m 为正整数，
∴m≤5， 0.2m+2≤3，
∴这 10 台机器人每小时最多处理 3 吨垃圾．
24． 在矩形 ABCD 中， ＝k（k 为常数） ， 点 P 是对角线 BD 上一动点（不与 B， D 重合） ，
将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转 90° 与射线 CB 交于点 E， 连接 AE．
（1） 特例发现： 如图 1， 当 k＝1 时， 将点 P 移动到对角线交点处， 可发现点 E 与点 B
重合， 则 ＝
1
， ∠AEP＝ 45° ； 当点 P 移动到其它位置时， ∠AEP 的大小 不
变 （填“改变” 或“不变” ） ；
（2） 类比探究： 如图 2， 若 k≠1 时， 当 k 的值确定时， 请探究∠AEP 的大小是否会随着
点 P 的移动而发生变化， 并说明理由；
（3） 拓展应用： 当 k≠1 时， 如图 2， 连接 PC， 若 PC⊥BD， AE∥PC， PC＝2， 求 AP
的长．
【分析】 （1） 当 k＝1 时， 四边形 ABCD 是正方形， 当点 P 与正方形的对角线交点重合
时， 由正方形的性质可得 PA＝PE， ∠AEP＝∠OBA＝45° ； 当点 P 移动到其它位置时，
作 PF⊥AB 于点 F， PG⊥BC 于点 G， 通过证明△PAF≌△PEG， 可得 PA＝PE， ∠AEP
＝45° ， 可知∠AEP 的大小不变；
（2） 过点 P 作 PM⊥AB 于点 M， PN⊥BC 于点 N， 证明△PAM∽△PEN， 得 tan∠AEP
＝ ＝ ＝k， 可得∠AEP 的大小不变；
（3） 由 PC⊥BD， AE∥PC， 推导出∠BHE＝∠BPC＝90° 及∠AEB＝∠ABD， 则 tan∠
AEB＝tan∠ABD＝tan∠AEP＝k， 得∠AEB＝∠AEP， 可证明△AEB≌△AEP， △CPD≌
△AHB， 可得 PD＝HB＝HP， HA＝PC＝2， 再根据勾股定理求出 AP 的长．
解： （1） 如图 1（甲） ， 设矩形 ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O，
∵ ＝k＝1，
∴AD＝AB，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴四边形 ABCD 是正方形；
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90° ，
∵OA＝ AC， OB＝ BD， 且 AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45° ，
∵点 P 与点 O 重合， ∠APE＝90° ，
∴OE 与 OB 重合，
∴PA＝OA， PE＝OB， ∠AEP＝∠OBA＝45° ，
∴PA＝PE，
∴ ＝1；
当点 P 移动到其他位置时， 如图 1（乙） ， 作 PF⊥AB 于点 F， PG⊥BC 于点 G，
∵AB＝AD， CB＝CD， ∠BAD＝∠C＝90° ，
∴∠ABD＝∠ADB＝45° ， ∠CBD＝∠CDB＝45° ，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴PF＝PG，
∵∠PFB＝∠FBG＝∠PGB＝90° ，
∴∠FPG＝90° ，
∵∠APF＝∠EPG＝90° ﹣ ∠EPF， ∠PFA＝∠EGP＝90° ，
∴△PAF≌△PEG（ASA） ，
∴PA＝PE，
∴∠AEP＝∠EAP＝45° ，
∴∠AEP 的大小不变，
故答案为： 1， 45° ， 不变．
（2） ∠AEP 的大小不变．
理由如下： 如图 2（甲） ， 过点 P 作 PM⊥AB 于点 M， PN⊥BC 于点 N，
∴∠PMA＝∠PMB＝∠PNB＝90° ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠MBN＝∠PMB＝∠PNB＝90° ，
∴四边形 PMBN是矩形．
∴∠MPN＝90° ， PN＝BM，
∵∠APE＝90° ，
∴∠APM+∠MPE＝90° ， ∠EPN+∠MPE＝90° ，
∴∠APM＝∠EPN．
∵∠PMA＝∠PNE＝90° ，
∴△PAM∽△PEN，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠BAD＝90° ，
∴tan∠ABD＝ ，
∴tan∠AEP＝ ＝ ＝k，
∵k 为定值，
∴∠AEP 的大小不变．
（3） 如图 2（乙） ，
∵PC⊥BD， AE∥PC，
∴∠BHE＝∠BPC＝90° ，
∵∠ABE＝90° ，
∴∠AEB＝90° ﹣ ∠EBD＝∠ABD，
∴tan∠AEB＝tan∠ABD＝k，
∵tan∠AEP＝k，
∴∠AEB＝∠AEP，
∵∠ABE＝∠APE＝90° ， AE＝AE，
∴△AEB≌△AEP（AAS） ，
∴AB＝AP， ∠BAE＝∠PAE，
∴AE 垂直平分 BP，
∴HB＝HP， ∠AHB＝∠AHP＝90° ；
∵AB∥CD，
∴∠CDP＝∠ABH，
∵∠CPD＝∠AHB＝90° ， CD＝AB，
∴△CPD≌△AHB（AAS） ，
∴PD＝HB＝HP， PC＝HA＝2，
∵∠PCD＝90° ﹣ ∠CDP＝90° ﹣ ∠ABH＝∠PBC， ∠CPD＝∠BPC＝90° ，
∴△CPD∽△BPC，
∴ ，
∴PB•PD＝PC 2 ，
设 PD＝HB＝HP＝m， 则 PB＝2m，
∴2m•m＝2 2 ，
∴m＝ 或 m＝ （不符合题意， 舍去） ，
∴HP＝ ，
∴AP＝ ＝ ＝ ．
25． 在平面直角坐标系中， 抛物线解析式为 y＝﹣ 2x 2 +4mx﹣ 2m 2 +2， 直线 l： y＝﹣ x+1 与 x
轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B．
（1） 如图 1， 当抛物线经过点 A 且与 x 轴的两个交点都在 y 轴右侧时， 求抛物线的解析
式．
（2） 在（1） 的条件下， 若点 P 为直线 l 上方的抛物线上一点， 过点 P 作 PQ⊥l 于 Q，
求 PQ 的最大值．
（3） 如图 2， 点 C（﹣ 2， 0） ， 若抛物线与线段 AC 只有一个公共点， 求 m 的取值范围．
【分析】 （1） 先求点 A 的坐标， 再通过解析式等于 0 得方程的解， 然后根据图象点的坐
标与坐标轴的交点可得答案；
（2） 作 PM∥y 轴交直线 l 于点 M． 根据点的坐标特点与三角函数可得 PQ 的长， 设点 P
的横坐标为 n， 则点 P 的纵坐标为﹣ 2n 2 +8n﹣ 6， 然后由两点间距离可得方程， 解方程可
得答案；
（3） 根据抛物线与坐标轴之间的关系可得不等式， 然后分当只有点（m﹣ 1， 0） 在线段
AC 上时， 当只有点（m+1， 0） 在线段 AC 上时， 两种情况可得答案．
解： （1） 由 y＝﹣ x+1＝0， 解得 x＝1，
∴A（1， 0） ．
由 y＝﹣ 2x 2 +4mx﹣ 2m 2 +2＝﹣ 2（x﹣ m）
2 +2＝0，
解得 x 1 ＝m﹣ 1， x 2 ＝m+1．
∵抛物线经过点 A， 且抛物线与 x 轴的交点在 y 轴的右侧， m﹣ 1＜m+1，
∴m﹣ 1＝1，
解得 m＝2，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣ 2x 2 +8x﹣ 6．
（2） 如图， 作 PM∥y 轴交直线 l 于点 M．
当 x＝0 时， y＝﹣ x+1＝1，
∴B（0， 1） ．
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90° ，
∴∠OAB＝∠OBA＝45° ．
∴∠PMQ＝∠OBA＝45° ．
∵PQ⊥l 于 Q，
∴PQ＝PM•sin∠PMQ＝PM•sin45° ＝ PM．
设点 P 的横坐标为 n， 则点 P 的纵坐标为﹣ 2n 2 +8n﹣ 6，
∴点 M的纵坐标为﹣ n+1，