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期末复习综合训练题(2) 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（word版 含答案）
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这是一份期末复习综合训练题(2) 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（word版 含答案），共42页。试卷主要包含了设一元二次方程，已知二次函数y＝a等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙教版九年级数学第一学期期末复习综合练习题2（附答案）
1．设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ）
A．﹣1＜α＜β＜3 B．α＜﹣1且β＞3 C．α＜﹣1＜β＜3 D．﹣1＜α＜3＜β
2．已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣a）（a为常数，且a≠0），下列结论一定正确的是（ ）
A．若a＞0，则＜x＜a时，y随x的增大而增大
B．若a＞0，则＜x＜a时，y随x的增大而减小
C．若a＜0，则a＜x＜时，y随x的增大而增大
D．若a＜0，则a＜x＜时，y随x的增大而减小
3．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（ ）
A．a＝b B．a＝b﹣1 C．a＝b或a＝b+1 D．a＝b或a＝b﹣1
4．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP•MD＝MA•ME；④2CB2＝CP•CM，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，E，F是正方形ABCD边BC，CD上的点，BE＝x，DF＝y，连接AE，AF，若∠EAB＝∠EAF，且正方形的边长为1，则（ ）
A．x2﹣2xy+1＝0 B．x2+2xy﹣1＝0 C．x2+2xy﹣2＝0 D．x2﹣2xy+2＝0
6．如图所示，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP＝ ．
7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
8．正方形ABCD中，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F落在正方形ABCD内，延长EF交边CD于点G，若点G为边CD的三等分点，则＝ ．
9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．设AB＝2，当时，则＝ ．若（n为整数），则＝ ．（用含n的式子表示）
10．已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．
（1）若b＝0，令y＝y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；
（2）若x＝x0时，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范围；
（3）已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．
11．设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．
（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；
（2）求证：y1，y2的图象必有交点；
（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．
13．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．
14．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）求证：BE2＝EF•EG；
（2）若2DG＝DC，BE＝6，求EF的长．
15．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点M是AB边上一点（点M不与点A，B重合），DM的延长线交⊙O于点E，DN⊥DE，且交BC于点N，连结EB，MN．
（1）求证：点D是AC的中点；
（2）若∠EBA＝30°，求∠NMB的度数；
（3）若AM＝2，MB＝4，求DE的长．
17．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设＝α．
（1）求∠EAG的度数．
（2）当α＝时，求tan∠AEG．
（3）用α的代数式表示，并说明理由．
18．已知抛物线y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）．
（1）求证：无论m取何值，该抛物线都与x轴有两个不同的交点．
（2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式．
（3）若抛物线顶点在第四象限，当x⩽0时，至少存在一个x的值，使y＜0，求m的取值范围．
19．如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D；OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，r＝2，求弦AB的长；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
20．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB＝α，∠BAC＝mα．
（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；
（2）若∠ADB＝nα+90°，求证m+n＝1；
（3）若弧AB长是⊙O周长的，2∠ADB＝5∠CBD，求．
21．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
22．已知，A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE，AF交于点B，且BE＝CE＝6．
（1）若AE＝BE，
①求证：BF＝CF．
②当∠B＝n°时，求∠FCA的度数（用含n的代数式表示）．
（2）若⊙O的半径为5，求AB2+AC2的最大值．
23．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若，GF＝2，求线段BE和CP的长．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．
（2）若tan∠AFB＝2，求的值．
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
26．如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连接BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）．
（1）若∠A＝50°，求的度数；
（2）若k＝，求的值；
（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤．
27．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ．
（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．
28．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D是的中点，连接OD，交BC于点E．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：OD∥AC；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD和CD，若∠BAC＝36°，的度数是88°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，当圆心O在△ABC内部时，连接BD和CD，若∠ABC＝45°，DE＝2，BC＝4，求四边形ACDB的面积．
参考答案
1．解：方程方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，
而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
如图，
所以α＜﹣1且β＞3．
故选：B．
2．解：y＝a（x﹣1）（x﹣a）＝0，解得x＝1或a，
∴对称轴为直线x＝＝+＞，
∴当a＜0时，开口向下，
a＜x＜，图象完全在对称轴的左侧，
∴当a＜x＜时，y随x的增大而增大，
故选：C．
3．解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，
∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，
∴a＝2；
∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，
∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，
∴b＝1；
当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，
∴b＝2；
由上可得，a＝b+1或a＝b，
故选：C．
4．解：由已知得：AC＝AB，AD＝AE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴①正确；
如图：设BE与AC相交于点O，
则∠AOB＝∠POC，
∵△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠BPC＝∠BAC＝45°，
∴②正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴＝，
∴MP•MD＝MA•ME，
∴③正确；
由③MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD＝∠AED＝90°，
∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
∠ACP＝∠MCA，
∴△CAP∽△CMA，
∴AC2＝CP•CM，
∵AC＝BC，
∴2CB2＝CP•CM，
∴④正确，
故选：D．
5．解：过E作 EG⊥AF于G，连接 EF，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠ADF＝∠B＝∠C＝90°，
∵BE＝x，DF＝y，
∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，
在Rt△ADF中，AF＝，
∵∠EAB＝∠EAF，EG⊥AF，EB⊥AB，
∴EB＝EG＝x，
∴，，，，
∵S正方形ABCD＝S△ABE+S△ECF+S△ADF+S△AEF＝1，
∴，
∴，
∴x2+2xy﹣1＝0．
故选：B．
6．解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝＝2，
∴EM＝2BC＝2×6＝12，
即EP+BP＝12．
故答案为：12．
7．解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDF＝∠C＝∠DBC＝60°，BD＝BC，
∵AF+DF＝DE+CE＝2，
∴DE＝AF，
在△BDF和△BCE中，
，
∴△BDF≌△BCE（ASA），
∴BE＝BF，∠DBF＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S四边形DEBF＝S△DBC＝＝3，
∴S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF，
∴当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的长最短，此时△BFE的面积最小，
BE的最小值＝×2＝3，
∴△FDE的面积的最大值＝3﹣＝，
故答案为：．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
设BC＝CD＝AD＝3a，
分两种情况：
①DG＝2CG时，连接BG，如图1所示：
则DG＝2a，CG＝a，
由折叠的性质得：FE＝AE，∠EFB＝∠A＝90°，FB＝AB，
∴∠BFG＝90°＝∠C，BF＝BC，
在Rt△BFG和Rt△BCG中，
，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG＝CG＝a，
设AE＝FE＝x，则DE＝3a﹣x，EG＝x+a，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：（3a﹣x）2+（2a）2＝（x+a）2，
解得：x＝a，
∴AE＝a，DE＝a，
∴AE＝DE，
∴＝1；
②CG＝2DG时，连接BG，如图2所示：
同①得：Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG＝CG＝2aa，
设AE＝FE＝x，则DE＝3a﹣x，EG＝x+2a，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：（3a﹣x）2+a2＝（x+2a）2，
解得：x＝a，
∴AE＝a，DE＝a，
∴＝＝；
综上所述，＝1或，
故答案为：1或．
9．解：已知（n为整数），且CD＝2，则CE＝，DE＝；
设AM＝a，BN＝b；
在Rt△NCE中，NE＝BN＝b，NC＝2﹣b，由勾股定理得：
NE2＝NC2+CE2，即b2＝（2﹣b）2+（）2；
解得：b＝，BN＝NE＝，NC＝2﹣b＝；
由于∠NEF＝90°，∠C＝∠D，
∴∠GED+∠NEC＝90°，∠GED+∠DGE＝90°，
∴∠NEC＝∠DGE，
易证得△NEC∽△EDG，
∴，即；
解得：EG＝，FG＝EF﹣EG＝2﹣＝，
∵∠FGM＝∠DGE＝∠NEC，且∠F＝∠C＝90°，
∴△MFG∽△NCE，得：；
即：，解得：MF＝；
∴＝；
当n＝2时，；
故答案为：，．
10．解：（1）当b＝0时，y＝y1+y2＝（a+c）x2+（a+c），
令y＝0，则（a+c）x2+（a+c）＝0，
∵a+c≠0，
∴x2+1＝0，
∵△＝﹣4＜0，
∴方程x2+1＝0没有实数根，即抛物线y＝（a+c）x2+（a+c）与x轴没有交点；
（2）∵a＞0，c＜0，a+c≠0，
∴抛物线y1＝ax2﹣bx+c的开口向上，抛物线y2＝cx2﹣bx+a，开口向下，
当x＝1时，y1＝a﹣b+c，y2＝c﹣b+a，
∴y1＝y2，
当x＝﹣1时，y1＝a+b+c，y2＝c+b+a，
∴y1＝y2，
当b＜0时，如图1，若p＞q，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，
即x0＜﹣1或x0＞1，
当b≥0时，如图2，若p＞q，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，
即x0＜﹣1或x0＞1，
综上所述，若p＞q，则x0的取值范围为x0＜﹣1或x0＞1；
（3）∵二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），
∴y1＝ax2﹣bx+c＝a（x+1）2﹣4a＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵（m﹣1）a﹣b+c≤0，
∴（m﹣1）a+2a﹣3a≤0，
∴a（m﹣2）≤0，
∵a＞0，
∴m﹣2≤0，
∴m≤2，
∴m的最大值为2．
11．解：（1）把（﹣2，1）代入一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b，得
，
解得，，
∴一次函数为y1＝x+3，
二次函数y2＝x2+2x+1，
（2）当y1＝y2时，得x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2≥0，
∴方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，
∴y1，y2的图象必有交点；
（3）当y1＝y2时，x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
（x+a）（x﹣1）＝0，
∵a＞0，x1＜x2，
∴x1＝﹣a，x2＝1，
∴n＝1+a+b，
当y＝1+a+b时，y2＝x（x+a）+b＝1+a+b，
化简为：x2+ax﹣a﹣1＝0，
（x+a+1）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x＝﹣a﹣1，
∴x3＝﹣a﹣1，
∴x3﹣x1＝﹣a﹣1﹣（﹣a）＝﹣1．
12．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB•AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB＝，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
∴＝＝，
∴＝．
13．（1）证明：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴＝
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，
∴＝，y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+（0＜x＜）
当x＝时，y有最小值，最小值为；
（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD＝CE，
∴x＝1﹣y，即x﹣x2＝x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1
∴AE＝1﹣x＝2﹣，
当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE＝；
当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2﹣或．
14．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥CG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE2＝EF•EG；
（2）解：∵DF∥BC，
∴＝＝＝，
∴FG＝BF，
设EF＝x，则BF＝6+x，FG＝（6+x），
∵BE2＝EF•EG；
∴62＝x[x+（6+x）]，
整理得x2+2x﹣24＝0，解得x1＝﹣6（舍去），x2＝4，
即EF的长为4．
15．（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
16．（1）证明：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴AD＝CD，
∴点D是AC的中点；
（2）解：∵∠EBA＝30°，
∴∠ADE＝∠ABE＝30°，
∵DN⊥DE，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠MDN﹣∠MDB＝∠AD﹣∠MDB，
即∠BDN＝∠ADM＝30°，
∵∠A＝∠DBN＝45°，AD＝BD，
∴△ADM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∵∠MDN＝90°，∠BDN＝30°，
∴∠BDM＝60°，
∴∠BMD＝180°﹣∠BDM﹣∠MBD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BMN＝30°；
（3）解：∵△ADM≌△BDN，
∴AM＝BN，
∵AM＝2，
∴BN＝2．
∴MN＝＝2，
∵△MDN为等腰直角三角形，∠MDN＝90°，
∴DN＝MN＝×2＝，
∵∠E＝∠A，∠EMB＝∠AMD，
∴△EMB∽△AMD，
∴＝，
∴EM＝＝，
∴DE＝EM+DM＝+＝．
17．解：（1）∵BD 是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵＝，
∴∠GAF＝∠FDG，
∴∠EAG＝45°，
（2）连接GF，
∵在正方形ABCD中∠ADG＝90°，
又∵在圆O的内接四边形ADGF中∠AFG+∠ADG＝180°，
∴∠AFG＝90° 由（1）得∠GAE＝45°，
∴∠AGF＝45°，
∴∠FAG＝∠AGF，
∴AF＝GF，
∵∠GFE＝180°﹣∠AFG＝90°，
∴，
∴，
∵，BE+CE＝BC，
∴，
∵正方形ABCD中AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴tan∠AEG＝3，
（2）过F作FH⊥CD，垂足为H，连接CF，
利用正方形轴对称可得CF＝AF，
由（2）知AF＝GF
∴CF＝GF，
∵FH⊥CD，
∴CH＝HG，
∵，AD＝BC＝BE+CE，
∴，
∵△BEF∽△DAF，
∴，
∵FH⊥CD，∠ADC＝90°，
∴HF∥CD∥BC，
∴，
∴，
∵DG＝DH﹣GH，GH＝CH，
∴．
18．解：（1）∵图象y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2为抛物线，
∴m≠0，
令y＝0，则0＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2中，Δ＝（2﹣2m）2﹣4m（m﹣2）＝4＞0，
∴m≠0时，抛物线与x轴有两个不同交点．
（2）∵y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2，
∴﹣＝﹣＝1﹣，＝＝﹣，
∴抛物线顶点坐标为（1﹣，﹣），
令1﹣＝x，﹣＝y，则y＝x﹣1，
∴抛物线顶点在直线y＝x﹣1上．
（3）把x＝0代入y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2得y＝m﹣2，
当m＞0时，抛物线开口向上，
m﹣2＜0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，
解得m＜2，
∵顶点在第四象限，
∴
解得＜1，即m＞1，
∴1＜m＜2满足题意．
当m＜0时，抛物线开口向下，
若顶点在第四象限则抛物线与x轴无交点，不符合题意．
综上所述，1＜m＜2．
19．（1）解：设OF交AB于N，连接AO，
∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，
∵OA＝OB，OA⊥AB，
∴AN＝BN＝AB，
∴∠AOB＝∠BON＝∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，
∴sin∠AON＝＝，
∴AN＝×2＝，
∴AB＝2AN＝2．
（2）证明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON＝∠AOB，
∴∠BON＝∠AGB，
∴∠EGD＝∠DOB，
∵∠EDG＝∠BDO，
∴∠E＝∠OBD，
∵OG＝OB，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴∠E＝∠OGB．
（3）解：∵D是CO中点，
∴OD＝OC＝，
∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，
∴△OGD∽△OEG，
∴＝，即＝，
∴OE＝2r，
∵OF＝r，
∴EF＝OE+OF＝3r．
20．解：（1）连接OA，如图：
∵∠ACB＝α＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
（2）延长BD交⊙O于E，连接CE，如图：
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE＝90°，即∠ACE＝90°﹣α，
△CDE中，∠E＝∠A＝mα，∠EDC＝∠ADB＝nα+90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠E﹣∠EDC＝90°﹣mα﹣nα，即∠ACE＝90°﹣mα﹣nα，
∴90°﹣α＝90°﹣mα﹣nα，
∴m+n＝1；
（3）过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，如图：
∵弧AB长是⊙O周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∠ACB＝∠AOB＝45°，
∴△DCM、△BDN是等腰直角三角形，
∵2∠ADB＝5∠CBD，
∴2（∠CBD+∠ACB）＝5∠CBD，
∴2∠ACB＝3∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBD﹣∠ABO＝60°，
设MD＝MC＝t，
在Rt△DCM中，CD＝MD＝t，
在Rt△BDM中，BD＝2DM＝2t，
在Rt△BDN中，DN＝＝t，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝t，
∴＝＝．
21．解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＝90°，
∴∠ACN＝135°，
∵CA＝CN，
∴∠CAN＝∠N＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠N＝22.5°；
②设AD＝a，则AC＝a，
∴CN＝CA＝a，
∴ND＝（+1）a，
∵AD∥BC，
∴△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝（2﹣）a，
∴BP＝a﹣（2﹣）a＝（﹣1）a，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝+1，
∴＝＝+1；
（2）AM2＝MP•MN，
理由如下：设AD＝x，CN＝y，
∵△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
则BP＝x﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△NMD，
∴＝＝，
∵AD∥CB，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝，
∴•＝1，
∴AM2＝MP•MN．
22．（1）①证明：∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B．
∵∠BAE＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE，
∴BF＝FC．
解：②∵∠B＝n°，∠B＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE＝n°．
∴∠AFC＝∠B+∠FCE＝2n°．
∵∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC＝2n°．
∵BE＝CE，AE＝BE，
∴AE＝CE．
∴∠EAC＝∠ECA＝＝90°﹣n°．
∴∠FCA＝∠ECA﹣∠FCB＝90°﹣n°﹣n°＝（90﹣2n）°．
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图，
由勾股定理得：
AB2＝AG2+BG2，
AC2＝AG2+CG2，
∴AB2+AC2＝2AG2+BG2+CG2．
∵BE＝CE＝6，
∴BG＝BE+EG＝6+EG，
CG＝CE﹣EG＝6﹣EG，
∴BG2+CG2＝（6+EG）2+（6﹣EG）2＝72+2EG2．
∴AB2+AC2＝2AG2+72+2EG2．
在Rt△AEG中，
∵AG2+EG2＝AE2，
∴AB2+AC2＝72+2（AG2+EG2）＝72+2AE2．
∵直径是圆中最长的弦，
∴当AE为直径时，AB2+AC2取最大值，
∵⊙O的半径为5，
∴当AE＝10时，AB2+AC2的最大值为：72+2×102＝272．
23．解：（1）∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，
∴BF的长为；
（2）GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是：＝，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由＝，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN﹣EC＝﹣3＝，
∴CP＝＝，
∴线段BE的长是3，CP的长是．
24．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴＝，
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝＝，
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）由（1）知，AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，BC＝＝3，
设直线BC：y＝kx+3，
将B（3，0）代入得0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t+3），
则BQ＝＝（t﹣3），
∵P（7，0），
∴BP＝4，
∵B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似，∠ABC＝∠PBQ，
∴＝或，
①当＝时，
∴，
∴BQ2＝3，
∴t﹣3＝3，
解得t＝6；
①当时，
∴，
∴BQ1＝，
∴t﹣3＝，
解得t＝，
∴点Q的坐标为（6，﹣3）或（，﹣）．
25．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，
∴DE＝，
∴AE＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，
∴AF＝；
（2）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝DO＝BO＝AB，
∵tan∠AFB＝＝2，
∴OF＝AO＝AB，
∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，
∴；
（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，
∵＝x，
∴DE＝xa，
∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，
∵△ABF∽△EDF，
∴＝x，
∴DF＝x•BF，
∴S△ABF＝a2，
∵GF＝2BG，
∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，
∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴S△ABG＝S△CBG，
∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×
∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+
∴当x＝时，的最大值为．
26．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∵∠A＝∠EBC＝50°，
∴∠DBE＝15°，
∴的度数＝30°；
（2）∵∠A＝∠EBC，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S△BEC＝S△ABC，
设BC＝2m，则AC＝AB＝3m，CE＝m，
∴AE＝AC﹣CE＝m，
∵四边形BCED是圆内接四边形，
∴∠AED＝∠ABC＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴S△BDE＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BEC＝S△ABC，
∴；
（3）由（2）可得△ABC∽△BCE，
∴＝k，，
∴BC＝kAB，CE＝kBC＝k2•AB，
∴AE＝AC﹣EC＝（1﹣k2）•AB，
由（2）可得△ADE∽△ABC，
∴＝1﹣k2，
∴＝＝k+1﹣k2＝﹣（k﹣）2+，
∵0＜k＜1
∴1＜﹣（k﹣）2+≤
∴1＜≤．
27．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
（2）由（1）知，∠BAG＝∠EDA，
∵∠ABG＝∠DEA，
∴△ABG∽△DEA，
∴，
∴＝＝k
在Rt△DEF中，EF＝DE•tanα，
在Rt△BEF中，EF＝BF•tanβ，
∴DE•tanα＝BF•tanβ，
∴tanα＝•tanβ＝•tanβ＝ktanβ；
（3）方法1、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，AD＝BC，
∵＝k，
∴＝k，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝（）2＝，
∴S1＝•S△BHG，
设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h'，
∴△ADH∽△GBH
∴＝＝k，
∴h＝kh'，
∴＝＝×＝k×＝，
∴S△BCD＝S△BHG，
∴S2＝S△BCD﹣S△BHG＝S△BHG，
＝＝﹣k2+k+1＝﹣（k﹣）2＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为，
方法2、如图1，
设正方形的边长为1，
连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，
设HN＝h，HM＝h'，
∴h+h'＝1，
∵＝k，
∴BG＝k，＝k，
S2＝BC×CD﹣k×h＝﹣kh，
S1＝AD×h'＝h'，
∴
＝
＝
＝
＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
方法3、如图，连接CH，
∵BD是正方形的对角线，
∴S1＝S△ADH＝S△CHD，
∴S2＝S四边形CDHG＝S△CHD+S△CHG＝S1+S△CHG，
∵＝﹣＝，
∴S△CHG＝﹣S△BHG，
∴S2＝S1+S△BHG
∵△ADH∽△BHG，
∴
∴S△BHG＝k2S△AHD＝k2S1，
∴S2＝S1﹣k（k﹣1）S1＝﹣（k2﹣k﹣1）S1，
∴＝﹣（k2﹣k﹣1）＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
28．解：（1）如图1，连接OC，
∵D是的中点，
∴，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OC，
∴OD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
又∵BO＝AO，
∴OD∥AC；
（2）∵的度数是88°，
∴∠B＝44°，
∵，
∴∠ADC＝∠B＝44°，
∵，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠BAC＝×36°＝18°，
∴在△ACD中，
∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣18°﹣44°＝118°，
∴∠ACD的度数为118°；
（3）如图3，连接OB，OC，OA，过点C作CH⊥AB于H，
由（1）知，OD垂直平分BC，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∴在Rt△BDE中，
BD＝＝4，
tan∠BDE＝＝，
∴∠BDE＝60°，
又OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴r＝OB＝BD＝4，
在Rt△CBH中，
∴∠ABC＝45°，
∴∠HCB＝45°，
∴HB＝HC＝BC＝2，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴AC＝CO＝4，
在Rt△AHC中，
AH＝＝2，
∴S四边形ACDB＝S△BCD+S△BCH+S△ACH
＝×4×2+×2×2+×2×2
＝12+8，
∴四边形ACDB的面积为12+8．
2021-2022学年浙教版九年级数学第一学期期末复习综合练习题2（附答案）
1．设一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ）
A．﹣1＜α＜β＜3 B．α＜﹣1且β＞3 C．α＜﹣1＜β＜3 D．﹣1＜α＜3＜β
2．已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣a）（a为常数，且a≠0），下列结论一定正确的是（ ）
A．若a＞0，则＜x＜a时，y随x的增大而增大
B．若a＞0，则＜x＜a时，y随x的增大而减小
C．若a＜0，则a＜x＜时，y随x的增大而增大
D．若a＜0，则a＜x＜时，y随x的增大而减小
3．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（ ）
A．a＝b B．a＝b﹣1 C．a＝b或a＝b+1 D．a＝b或a＝b﹣1
4．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP•MD＝MA•ME；④2CB2＝CP•CM，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，E，F是正方形ABCD边BC，CD上的点，BE＝x，DF＝y，连接AE，AF，若∠EAB＝∠EAF，且正方形的边长为1，则（ ）
A．x2﹣2xy+1＝0 B．x2+2xy﹣1＝0 C．x2+2xy﹣2＝0 D．x2﹣2xy+2＝0
6．如图所示，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP＝ ．
7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
8．正方形ABCD中，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F落在正方形ABCD内，延长EF交边CD于点G，若点G为边CD的三等分点，则＝ ．
9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．设AB＝2，当时，则＝ ．若（n为整数），则＝ ．（用含n的式子表示）
10．已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．
（1）若b＝0，令y＝y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；
（2）若x＝x0时，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范围；
（3）已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．
11．设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．
（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；
（2）求证：y1，y2的图象必有交点；
（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．
13．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．
14．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）求证：BE2＝EF•EG；
（2）若2DG＝DC，BE＝6，求EF的长．
15．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点M是AB边上一点（点M不与点A，B重合），DM的延长线交⊙O于点E，DN⊥DE，且交BC于点N，连结EB，MN．
（1）求证：点D是AC的中点；
（2）若∠EBA＝30°，求∠NMB的度数；
（3）若AM＝2，MB＝4，求DE的长．
17．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设＝α．
（1）求∠EAG的度数．
（2）当α＝时，求tan∠AEG．
（3）用α的代数式表示，并说明理由．
18．已知抛物线y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）．
（1）求证：无论m取何值，该抛物线都与x轴有两个不同的交点．
（2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式．
（3）若抛物线顶点在第四象限，当x⩽0时，至少存在一个x的值，使y＜0，求m的取值范围．
19．如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D；OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，r＝2，求弦AB的长；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
20．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB＝α，∠BAC＝mα．
（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；
（2）若∠ADB＝nα+90°，求证m+n＝1；
（3）若弧AB长是⊙O周长的，2∠ADB＝5∠CBD，求．
21．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
22．已知，A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE，AF交于点B，且BE＝CE＝6．
（1）若AE＝BE，
①求证：BF＝CF．
②当∠B＝n°时，求∠FCA的度数（用含n的代数式表示）．
（2）若⊙O的半径为5，求AB2+AC2的最大值．
23．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若，GF＝2，求线段BE和CP的长．
24．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．
（2）若tan∠AFB＝2，求的值．
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
26．如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连接BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）．
（1）若∠A＝50°，求的度数；
（2）若k＝，求的值；
（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤．
27．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ．
（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．
28．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D是的中点，连接OD，交BC于点E．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：OD∥AC；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD和CD，若∠BAC＝36°，的度数是88°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，当圆心O在△ABC内部时，连接BD和CD，若∠ABC＝45°，DE＝2，BC＝4，求四边形ACDB的面积．
参考答案
1．解：方程方程（x+1）（x﹣3）＝m（m＞0）的两实数根α、β可看作抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与直线y＝m的两交点的横坐标，
而抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
如图，
所以α＜﹣1且β＞3．
故选：B．
2．解：y＝a（x﹣1）（x﹣a）＝0，解得x＝1或a，
∴对称轴为直线x＝＝+＞，
∴当a＜0时，开口向下，
a＜x＜，图象完全在对称轴的左侧，
∴当a＜x＜时，y随x的增大而增大，
故选：C．
3．解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，
∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，
∴a＝2；
∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，
∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，
∴b＝1；
当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，
∴b＝2；
由上可得，a＝b+1或a＝b，
故选：C．
4．解：由已知得：AC＝AB，AD＝AE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴①正确；
如图：设BE与AC相交于点O，
则∠AOB＝∠POC，
∵△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠BPC＝∠BAC＝45°，
∴②正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴＝，
∴MP•MD＝MA•ME，
∴③正确；
由③MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD＝∠AED＝90°，
∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
∠ACP＝∠MCA，
∴△CAP∽△CMA，
∴AC2＝CP•CM，
∵AC＝BC，
∴2CB2＝CP•CM，
∴④正确，
故选：D．
5．解：过E作 EG⊥AF于G，连接 EF，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠ADF＝∠B＝∠C＝90°，
∵BE＝x，DF＝y，
∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，
在Rt△ADF中，AF＝，
∵∠EAB＝∠EAF，EG⊥AF，EB⊥AB，
∴EB＝EG＝x，
∴，，，，
∵S正方形ABCD＝S△ABE+S△ECF+S△ADF+S△AEF＝1，
∴，
∴，
∴x2+2xy﹣1＝0．
故选：B．
6．解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M＝∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM＝∠CBM，
∴∠M＝∠PBM，
∴BP＝PM，
∴EP+BP＝EP+PM＝EM，
∵CQ＝CE，
∴EQ＝2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝＝2，
∴EM＝2BC＝2×6＝12，
即EP+BP＝12．
故答案为：12．
7．解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDF＝∠C＝∠DBC＝60°，BD＝BC，
∵AF+DF＝DE+CE＝2，
∴DE＝AF，
在△BDF和△BCE中，
，
∴△BDF≌△BCE（ASA），
∴BE＝BF，∠DBF＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S四边形DEBF＝S△DBC＝＝3，
∴S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF，
∴当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的长最短，此时△BFE的面积最小，
BE的最小值＝×2＝3，
∴△FDE的面积的最大值＝3﹣＝，
故答案为：．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
设BC＝CD＝AD＝3a，
分两种情况：
①DG＝2CG时，连接BG，如图1所示：
则DG＝2a，CG＝a，
由折叠的性质得：FE＝AE，∠EFB＝∠A＝90°，FB＝AB，
∴∠BFG＝90°＝∠C，BF＝BC，
在Rt△BFG和Rt△BCG中，
，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG＝CG＝a，
设AE＝FE＝x，则DE＝3a﹣x，EG＝x+a，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：（3a﹣x）2+（2a）2＝（x+a）2，
解得：x＝a，
∴AE＝a，DE＝a，
∴AE＝DE，
∴＝1；
②CG＝2DG时，连接BG，如图2所示：
同①得：Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG＝CG＝2aa，
设AE＝FE＝x，则DE＝3a﹣x，EG＝x+2a，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：（3a﹣x）2+a2＝（x+2a）2，
解得：x＝a，
∴AE＝a，DE＝a，
∴＝＝；
综上所述，＝1或，
故答案为：1或．
9．解：已知（n为整数），且CD＝2，则CE＝，DE＝；
设AM＝a，BN＝b；
在Rt△NCE中，NE＝BN＝b，NC＝2﹣b，由勾股定理得：
NE2＝NC2+CE2，即b2＝（2﹣b）2+（）2；
解得：b＝，BN＝NE＝，NC＝2﹣b＝；
由于∠NEF＝90°，∠C＝∠D，
∴∠GED+∠NEC＝90°，∠GED+∠DGE＝90°，
∴∠NEC＝∠DGE，
易证得△NEC∽△EDG，
∴，即；
解得：EG＝，FG＝EF﹣EG＝2﹣＝，
∵∠FGM＝∠DGE＝∠NEC，且∠F＝∠C＝90°，
∴△MFG∽△NCE，得：；
即：，解得：MF＝；
∴＝；
当n＝2时，；
故答案为：，．
10．解：（1）当b＝0时，y＝y1+y2＝（a+c）x2+（a+c），
令y＝0，则（a+c）x2+（a+c）＝0，
∵a+c≠0，
∴x2+1＝0，
∵△＝﹣4＜0，
∴方程x2+1＝0没有实数根，即抛物线y＝（a+c）x2+（a+c）与x轴没有交点；
（2）∵a＞0，c＜0，a+c≠0，
∴抛物线y1＝ax2﹣bx+c的开口向上，抛物线y2＝cx2﹣bx+a，开口向下，
当x＝1时，y1＝a﹣b+c，y2＝c﹣b+a，
∴y1＝y2，
当x＝﹣1时，y1＝a+b+c，y2＝c+b+a，
∴y1＝y2，
当b＜0时，如图1，若p＞q，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，
即x0＜﹣1或x0＞1，
当b≥0时，如图2，若p＞q，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，
即x0＜﹣1或x0＞1，
综上所述，若p＞q，则x0的取值范围为x0＜﹣1或x0＞1；
（3）∵二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），
∴y1＝ax2﹣bx+c＝a（x+1）2﹣4a＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵（m﹣1）a﹣b+c≤0，
∴（m﹣1）a+2a﹣3a≤0，
∴a（m﹣2）≤0，
∵a＞0，
∴m﹣2≤0，
∴m≤2，
∴m的最大值为2．
11．解：（1）把（﹣2，1）代入一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b，得
，
解得，，
∴一次函数为y1＝x+3，
二次函数y2＝x2+2x+1，
（2）当y1＝y2时，得x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2≥0，
∴方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，
∴y1，y2的图象必有交点；
（3）当y1＝y2时，x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
（x+a）（x﹣1）＝0，
∵a＞0，x1＜x2，
∴x1＝﹣a，x2＝1，
∴n＝1+a+b，
当y＝1+a+b时，y2＝x（x+a）+b＝1+a+b，
化简为：x2+ax﹣a﹣1＝0，
（x+a+1）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x＝﹣a﹣1，
∴x3＝﹣a﹣1，
∴x3﹣x1＝﹣a﹣1﹣（﹣a）＝﹣1．
12．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB•AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝AB＝，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
∴＝＝，
∴＝．
13．（1）证明：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴＝
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，
∴＝，y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+（0＜x＜）
当x＝时，y有最小值，最小值为；
（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD＝CE，
∴x＝1﹣y，即x﹣x2＝x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1
∴AE＝1﹣x＝2﹣，
当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE＝；
当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2﹣或．
14．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥CG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BE2＝EF•EG；
（2）解：∵DF∥BC，
∴＝＝＝，
∴FG＝BF，
设EF＝x，则BF＝6+x，FG＝（6+x），
∵BE2＝EF•EG；
∴62＝x[x+（6+x）]，
整理得x2+2x﹣24＝0，解得x1＝﹣6（舍去），x2＝4，
即EF的长为4．
15．（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
16．（1）证明：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴AD＝CD，
∴点D是AC的中点；
（2）解：∵∠EBA＝30°，
∴∠ADE＝∠ABE＝30°，
∵DN⊥DE，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠MDN﹣∠MDB＝∠AD﹣∠MDB，
即∠BDN＝∠ADM＝30°，
∵∠A＝∠DBN＝45°，AD＝BD，
∴△ADM≌△BDN（ASA），
∴DM＝DN，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∵∠MDN＝90°，∠BDN＝30°，
∴∠BDM＝60°，
∴∠BMD＝180°﹣∠BDM﹣∠MBD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BMN＝30°；
（3）解：∵△ADM≌△BDN，
∴AM＝BN，
∵AM＝2，
∴BN＝2．
∴MN＝＝2，
∵△MDN为等腰直角三角形，∠MDN＝90°，
∴DN＝MN＝×2＝，
∵∠E＝∠A，∠EMB＝∠AMD，
∴△EMB∽△AMD，
∴＝，
∴EM＝＝，
∴DE＝EM+DM＝+＝．
17．解：（1）∵BD 是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵＝，
∴∠GAF＝∠FDG，
∴∠EAG＝45°，
（2）连接GF，
∵在正方形ABCD中∠ADG＝90°，
又∵在圆O的内接四边形ADGF中∠AFG+∠ADG＝180°，
∴∠AFG＝90° 由（1）得∠GAE＝45°，
∴∠AGF＝45°，
∴∠FAG＝∠AGF，
∴AF＝GF，
∵∠GFE＝180°﹣∠AFG＝90°，
∴，
∴，
∵，BE+CE＝BC，
∴，
∵正方形ABCD中AD∥BC，AD＝BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴tan∠AEG＝3，
（2）过F作FH⊥CD，垂足为H，连接CF，
利用正方形轴对称可得CF＝AF，
由（2）知AF＝GF
∴CF＝GF，
∵FH⊥CD，
∴CH＝HG，
∵，AD＝BC＝BE+CE，
∴，
∵△BEF∽△DAF，
∴，
∵FH⊥CD，∠ADC＝90°，
∴HF∥CD∥BC，
∴，
∴，
∵DG＝DH﹣GH，GH＝CH，
∴．
18．解：（1）∵图象y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2为抛物线，
∴m≠0，
令y＝0，则0＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2中，Δ＝（2﹣2m）2﹣4m（m﹣2）＝4＞0，
∴m≠0时，抛物线与x轴有两个不同交点．
（2）∵y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2，
∴﹣＝﹣＝1﹣，＝＝﹣，
∴抛物线顶点坐标为（1﹣，﹣），
令1﹣＝x，﹣＝y，则y＝x﹣1，
∴抛物线顶点在直线y＝x﹣1上．
（3）把x＝0代入y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2得y＝m﹣2，
当m＞0时，抛物线开口向上，
m﹣2＜0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，
解得m＜2，
∵顶点在第四象限，
∴
解得＜1，即m＞1，
∴1＜m＜2满足题意．
当m＜0时，抛物线开口向下，
若顶点在第四象限则抛物线与x轴无交点，不符合题意．
综上所述，1＜m＜2．
19．（1）解：设OF交AB于N，连接AO，
∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，
∵OA＝OB，OA⊥AB，
∴AN＝BN＝AB，
∴∠AOB＝∠BON＝∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，
∴sin∠AON＝＝，
∴AN＝×2＝，
∴AB＝2AN＝2．
（2）证明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON＝∠AOB，
∴∠BON＝∠AGB，
∴∠EGD＝∠DOB，
∵∠EDG＝∠BDO，
∴∠E＝∠OBD，
∵OG＝OB，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴∠E＝∠OGB．
（3）解：∵D是CO中点，
∴OD＝OC＝，
∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，
∴△OGD∽△OEG，
∴＝，即＝，
∴OE＝2r，
∵OF＝r，
∴EF＝OE+OF＝3r．
20．解：（1）连接OA，如图：
∵∠ACB＝α＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
（2）延长BD交⊙O于E，连接CE，如图：
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE＝90°，即∠ACE＝90°﹣α，
△CDE中，∠E＝∠A＝mα，∠EDC＝∠ADB＝nα+90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠E﹣∠EDC＝90°﹣mα﹣nα，即∠ACE＝90°﹣mα﹣nα，
∴90°﹣α＝90°﹣mα﹣nα，
∴m+n＝1；
（3）过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，如图：
∵弧AB长是⊙O周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∠ACB＝∠AOB＝45°，
∴△DCM、△BDN是等腰直角三角形，
∵2∠ADB＝5∠CBD，
∴2（∠CBD+∠ACB）＝5∠CBD，
∴2∠ACB＝3∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBD﹣∠ABO＝60°，
设MD＝MC＝t，
在Rt△DCM中，CD＝MD＝t，
在Rt△BDM中，BD＝2DM＝2t，
在Rt△BDN中，DN＝＝t，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝t，
∴＝＝．
21．解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＝90°，
∴∠ACN＝135°，
∵CA＝CN，
∴∠CAN＝∠N＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠N＝22.5°；
②设AD＝a，则AC＝a，
∴CN＝CA＝a，
∴ND＝（+1）a，
∵AD∥BC，
∴△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝（2﹣）a，
∴BP＝a﹣（2﹣）a＝（﹣1）a，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝+1，
∴＝＝+1；
（2）AM2＝MP•MN，
理由如下：设AD＝x，CN＝y，
∵△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
则BP＝x﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△NMD，
∴＝＝，
∵AD∥CB，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝，
∴•＝1，
∴AM2＝MP•MN．
22．（1）①证明：∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B．
∵∠BAE＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE，
∴BF＝FC．
解：②∵∠B＝n°，∠B＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE＝n°．
∴∠AFC＝∠B+∠FCE＝2n°．
∵∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC＝2n°．
∵BE＝CE，AE＝BE，
∴AE＝CE．
∴∠EAC＝∠ECA＝＝90°﹣n°．
∴∠FCA＝∠ECA﹣∠FCB＝90°﹣n°﹣n°＝（90﹣2n）°．
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图，
由勾股定理得：
AB2＝AG2+BG2，
AC2＝AG2+CG2，
∴AB2+AC2＝2AG2+BG2+CG2．
∵BE＝CE＝6，
∴BG＝BE+EG＝6+EG，
CG＝CE﹣EG＝6﹣EG，
∴BG2+CG2＝（6+EG）2+（6﹣EG）2＝72+2EG2．
∴AB2+AC2＝2AG2+72+2EG2．
在Rt△AEG中，
∵AG2+EG2＝AE2，
∴AB2+AC2＝72+2（AG2+EG2）＝72+2AE2．
∵直径是圆中最长的弦，
∴当AE为直径时，AB2+AC2取最大值，
∵⊙O的半径为5，
∴当AE＝10时，AB2+AC2的最大值为：72+2×102＝272．
23．解：（1）∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，
∴BF的长为；
（2）GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是：＝，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由＝，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN﹣EC＝﹣3＝，
∴CP＝＝，
∴线段BE的长是3，CP的长是．
24．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴＝，
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝＝，
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）由（1）知，AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，BC＝＝3，
设直线BC：y＝kx+3，
将B（3，0）代入得0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t+3），
则BQ＝＝（t﹣3），
∵P（7，0），
∴BP＝4，
∵B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似，∠ABC＝∠PBQ，
∴＝或，
①当＝时，
∴，
∴BQ2＝3，
∴t﹣3＝3，
解得t＝6；
①当时，
∴，
∴BQ1＝，
∴t﹣3＝，
解得t＝，
∴点Q的坐标为（6，﹣3）或（，﹣）．
25．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，
∴DE＝，
∴AE＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，
∴AF＝；
（2）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝DO＝BO＝AB，
∵tan∠AFB＝＝2，
∴OF＝AO＝AB，
∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，
∴；
（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，
∵＝x，
∴DE＝xa，
∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，
∵△ABF∽△EDF，
∴＝x，
∴DF＝x•BF，
∴S△ABF＝a2，
∵GF＝2BG，
∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，
∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴S△ABG＝S△CBG，
∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×
∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+
∴当x＝时，的最大值为．
26．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∵∠A＝∠EBC＝50°，
∴∠DBE＝15°，
∴的度数＝30°；
（2）∵∠A＝∠EBC，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S△BEC＝S△ABC，
设BC＝2m，则AC＝AB＝3m，CE＝m，
∴AE＝AC﹣CE＝m，
∵四边形BCED是圆内接四边形，
∴∠AED＝∠ABC＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴S△BDE＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BEC＝S△ABC，
∴；
（3）由（2）可得△ABC∽△BCE，
∴＝k，，
∴BC＝kAB，CE＝kBC＝k2•AB，
∴AE＝AC﹣EC＝（1﹣k2）•AB，
由（2）可得△ADE∽△ABC，
∴＝1﹣k2，
∴＝＝k+1﹣k2＝﹣（k﹣）2+，
∵0＜k＜1
∴1＜﹣（k﹣）2+≤
∴1＜≤．
27．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
（2）由（1）知，∠BAG＝∠EDA，
∵∠ABG＝∠DEA，
∴△ABG∽△DEA，
∴，
∴＝＝k
在Rt△DEF中，EF＝DE•tanα，
在Rt△BEF中，EF＝BF•tanβ，
∴DE•tanα＝BF•tanβ，
∴tanα＝•tanβ＝•tanβ＝ktanβ；
（3）方法1、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，AD＝BC，
∵＝k，
∴＝k，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝（）2＝，
∴S1＝•S△BHG，
设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h'，
∴△ADH∽△GBH
∴＝＝k，
∴h＝kh'，
∴＝＝×＝k×＝，
∴S△BCD＝S△BHG，
∴S2＝S△BCD﹣S△BHG＝S△BHG，
＝＝﹣k2+k+1＝﹣（k﹣）2＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为，
方法2、如图1，
设正方形的边长为1，
连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，
设HN＝h，HM＝h'，
∴h+h'＝1，
∵＝k，
∴BG＝k，＝k，
S2＝BC×CD﹣k×h＝﹣kh，
S1＝AD×h'＝h'，
∴
＝
＝
＝
＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
方法3、如图，连接CH，
∵BD是正方形的对角线，
∴S1＝S△ADH＝S△CHD，
∴S2＝S四边形CDHG＝S△CHD+S△CHG＝S1+S△CHG，
∵＝﹣＝，
∴S△CHG＝﹣S△BHG，
∴S2＝S1+S△BHG
∵△ADH∽△BHG，
∴
∴S△BHG＝k2S△AHD＝k2S1，
∴S2＝S1﹣k（k﹣1）S1＝﹣（k2﹣k﹣1）S1，
∴＝﹣（k2﹣k﹣1）＝﹣（k﹣）2+，
∴k＝时，的最大值为．
28．解：（1）如图1，连接OC，
∵D是的中点，
∴，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OC，
∴OD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
又∵BO＝AO，
∴OD∥AC；
（2）∵的度数是88°，
∴∠B＝44°，
∵，
∴∠ADC＝∠B＝44°，
∵，
∴∠DAC＝∠BAD＝∠BAC＝×36°＝18°，
∴在△ACD中，
∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣18°﹣44°＝118°，
∴∠ACD的度数为118°；
（3）如图3，连接OB，OC，OA，过点C作CH⊥AB于H，
由（1）知，OD垂直平分BC，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∴在Rt△BDE中，
BD＝＝4，
tan∠BDE＝＝，
∴∠BDE＝60°，
又OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴r＝OB＝BD＝4，
在Rt△CBH中，
∴∠ABC＝45°，
∴∠HCB＝45°，
∴HB＝HC＝BC＝2，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴AC＝CO＝4，
在Rt△AHC中，
AH＝＝2，
∴S四边形ACDB＝S△BCD+S△BCH+S△ACH
＝×4×2+×2×2+×2×2
＝12+8，
∴四边形ACDB的面积为12+8．
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