高端精品高中数学二轮核心专题-三角函数的图象与性质（带答案）教案

三角函数的图象与性质

高考预测一：根据解析式研究三角函数的性质

类型一 化为形式

1．已知向量，，，向量，设函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在，上的最大值与最小值；

（3）若，且，；求的值域．

【解析】解：向量，，，向量，

函数；

（1）；

（2），，；

，；

当即时，取最小值：；

当即时，取最大值：．

（3）令，由（2）可得，；

所以问题转化为求在，上的值域；

又因为时，取最小值；

时，．

即的值域为：，．

2．已知函数．

（1）求的值；

（2）求的最小正周期及单调递增区间．

【解析】解：（1），

则．

（2）的最小正周期为．

令，，得，．

故函数的单调递增区间为，．

3．已知函数．

（1）求的定义域与最小正周期及对称轴；

（2）求函数在上的值域；

（3）讨论在区间上的单调性．

【解析】解：（1），

，即函数的定义域为，

则

，

则函数的周期，对称轴为；

（2），

当，时，，，

，，

函数的值域为；

（3）由，

得，

即函数的增区间为，

当时，增区间为，

，此时，

由，

得，

即函数的减区间为，

当时，减区间为，

，此时，

即在区间上，函数的减区间为，增区间为．

4．已知函数．

（1）求的值；

（2）求的最大值和最小值，并求当取何值时，取得最大值．

【解析】解：（1）

（2）

，

当时，的最大值是6；

当时，函数取得最小值是．

且当即时，取得最大值．

类型二：二次函数型

5．设函数．

（1）当时，用表示的最大值（a）；

（2）当（a）时，求的值，并对此值求的最小值．

【解析】解：（1）

当时，．

当时，即时，在取最大值，（a）

当时，即时，在取最大值，（a）

当时，即时，在取最大值，（a）

综上所述（a）

（2）（a）时，由（1）解得或

当时，，当时，．

当时，，当时，．

6．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；

（2）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由，

，

函数的最小正周期为，

由，得：，，

故函数的对称轴方程为：，，

（2）由得，

当，时，，，

由图象得，

函数的最大值为，

要使方程在，上有两个不同的解，

则在，上有两个不同的解，

即函数和在，上有两个不同的交点，

即，

即．

高考预测二：利用图象和性质求解析式

类型一：图象型

7．已知函数，，的一段图象如图所示，

（1）求振幅和周期；

（2）求函数的解析式；

（3）求这个函数的单调递增区间．

【解析】解：由图象可知：振幅，

周期，

（2）由图象可知：，，

函数，

又点，在图象上，

，

，

所求函数解析式为：．

（3）由，．

可得：，

函数的单调递增区间为，，．

8．已知函数的图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，设，求函数在，上的最大值．

【解析】解：（1）由题意可得，最小正周期，则，

由，

又，

可得，

所以．

（2）由题意可知，

所以，

由于，，可得：，，

可得：．

9．已知函数（其中，，，的部分图象如图所示．

（1）求，，的值；

（2）已知在函数图象上的三点，，的横坐标分别为，1，3，求的值．

【解析】解：（1）由图知，．（1分）

的最小正周期，所以由，得．（4分）

又且，所以，，解得．（7分）

（2）因为，（1），（3），

所以，，，设，（9分）

在等腰三角形中，设，则．（11分）

所以．（13分）

类型二：性质型

10．设，其中．

（1）当时，求函数的值域；

（2）若在区间，上为增函数，求的最大值．

【解析】解：（1），其中．

化简可得：

当时，函数

根据三角函数的图象和性质可得：的值域的值域为，．

（2）由（1）可得

解得：，

故得函数的增区间为：，．

在区间，上为增函数，

故：且，

解得：且，

．

当时，满足题意，此时．

故得的最大值为．

11．设函数，且图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为．

（1）求的值；

（2）求在区间，上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的的值．

【解析】解：（1）

  （2分）

，（4分）

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，可得周期，

又，因此．（6分）

（2）由（1）知，（7分）

当时，，，

，，（8分）

故在区间，上最大值和最小值分别为，．（10分）

当，即时，取最大值．（11分）

，取最小值．（12分）

12．已知函数，是上的偶函数，其图象关于点，对称，且在区间，上是单调函数，

（1）求和的值；

（2）已知对任意函数满足，且当时，，试求：．

【解析】解：（1）解：由是偶函数，得，

即，

所以，

对任意都成立，且，

所以得．

依题设，所以解得，

由的图象关于点对称，

得，

取，得，

，

，

又，得，，1，2，3，

，，1，2，

当时，，在，上是减函数，满足题意；

当时，，，在，上是减函数，满足题意；

当时，，在，上不是单调函数；

所以，综合得或2．

（2）由（1）得，，

又对任意函数满足，且当时，，

由题意可得函数图象关于对称，即有，，

从而解得：或，即是整数，

由（1）可得，，

．

高考预测三：图象变换

13．已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．

（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；

（2）已知关于的方程在，内有两个不同的解，．

①求实数的取值范围；

②请用的式子表示．

【解析】解：（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，

从而函数图象的对称轴方程为．

（2）①（其中，

依题意，在区间，内有两个不同的解，，当且仅当，故的取值范围是，．

②因为，是方程在区间，内的两个不同的解，

所以，．

当时，，即；

当时，，即；

所以．

14．设函数，其中，已知．

（1）求的最小正周期；

（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间，上的最小值．

【解析】解：（1）函数

，

又，

，，

解得，

又，

，的最小正周期；

（2）由（1）知，，

将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，

函数；

当，时，，，

，，

当时，取得最小值是．

15．某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；

（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

【解析】解：（1）根据表中已知数据，解得，，．数据补全如下表：

且函数表达式为，

（2）由（1）知，，得．

因为函数的图象的对称中心为，．（7分）

令，，解得，．

由于函数的图象关于点，成中心对称，

令，，解得，，由可知，当时，取得最小值．

预测四：与平面向量结合

16．设向量，．

（1）若，，求的值；

（2）设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间．

【解析】解：（1）根据可知，，即，所以，

又，故．

（2）

；

    最小正周期为，

   由，解得，

故单调递增区间为．

17．设向量．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）设函数，求的最大值及取得最大值时的值．

【解析】解：，且，

，

，可得，等式两边约去，得，

因此，可得；

，，，

．

，可得，，

当即时，有最大值为1，

由此可得：的最大值为，相应的值为．

18．已知向量，函数的最大值为6．

（1）求的值及函数图象的对称轴方程和对称中心坐标；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

【解析】解：（1），

，

函数的最大值为6，

，

对称轴方程为，对称中心坐标为；

（2）函数的图象向左平移个单位，

再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

，

，

，，

，，

值域为，．