高端精品高中数学二轮核心专题-导数恒成立问题与存在性问题（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学二轮核心专题-导数恒成立问题与存在性问题（带答案）教案，共29页。

导数恒成立问题与存在性问题
高考预测一：不等式的恒成立问题
1．已知函数，在点，处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求证：当时，；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【解析】解：（1），
故，
由，得，
由，得，解得：，
故；
（2）原命题等价于，，
设，
，
当时，，函数在递增，
，故，；
（3）对恒成立，
，，
故，时，，且，，恒成立，
即时，函数在递增，，
当时，令，解得：，取，
，，的变化如下：



，


0


递增
极大值
递减
，显然不成立，
综上，满足条件的的最大值是2．
2．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
①时，在恒成立，故在单调递减，
②时，由，解得：，
由，解得：，
故在单调递增，在单调递减；
（2）由（1）可得，当时，在单调递减，
，
当时，在单调递增，在单调递减，
（a），
令（a），，
易知函数（a）在单调递增，
又（1），
当时，（a），即，满足题意，
当时，（a），即，不满足题意，
综上所述的取值范围为，．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
当时，，又，
故，递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增；
（2），即，
时，递增，恒成立，
时，，
故，
令（a），（a），
故（a）递减，又，
故，
综上：，．
4．已知函数，其中实数．
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间，上恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由可得函数定义域为，
，
令，经验证（1），
因为，所以的判别式△，
由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，
所以1是的异号零点，所以是函数的极值点．
（Ⅱ）已知，因为，
又因为，所以，
所以当时，在区间，上，
所以函数单调递减，所以有恒成立；
当时，在区间，上，所以函数单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时，有在区间，恒成立．
5．设函数．若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解法一：
令，
对函数求导数：
令，解得，
当时，对所有，，所以在，上是增函数，
又，所以对，都有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在是减函数，
又，所以对，都有，
即当时，不是对所有的，都有成立．
综上，的取值范围是，．
解法二：
令，
于是不等式成立即为成立．
对函数求导数：
令，解得，
当时，，为增函数，
当，，为减函数，
所以要对所有都有充要条件为．
由此得，即的取值范围是，．
6．已知函数，为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，
（1）求的值；
（2）对任意，证明：；
（3）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）所以（3分）
（2）证明：令，，当，，
所以当时单调递增，从而有，；
所以，
，
所以当，；（8分）
（3）令，
则，令，解得，
当时，所以，从而对所有，；在，上是增函数．
故有，
即当时，对于所有，都有．
当时，对于，，所以在上是减函数，所以对于有，
即，
所以，当，不是所有的都有成立，
综上，的取值范围是，（14分）
7．设函数．
（Ⅰ）求函数在点， 处的切线方程；
（Ⅱ）求的极小值；
（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，又，
，切点为，所求切线方程为．（2分）
（Ⅱ）设，得，得；，得，得；，得，得；
则．（6分）
（Ⅲ）令，
则．
令，得，得；，
得，得；，得，得；
（1）当时，，，
对所有时，都有，于是恒成立，
在，上是增函数．
又，于是对所有，都有成立．
故当时，对所有的，都有成立．
（2）当时，，，
对所有，都有恒成立，
在上是减函数．
又，于是对所有，都有．
故当时，只有对仅有的，都有．
即当时，不是对所有的，都有．
综合（1），（2）可知实数的取值范围，．（12分）

8．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）．（2分）
当时，，即；
当时，，即．
因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数．（6分）
（Ⅱ）令，则．
故当时，．
又，所以当时，，即．（9分）
当时，令，则．
故当，时，．
因此在，上单调增加．
故当时，，
即．
于是，当时，．
当时，有．
因此，的取值范围是．（12分）
9．设函数，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）证明：令，
，
由，解得：，
在，递减，在，递增，
，
即成立．
（Ⅱ）解：记，
在，恒成立，
，，
在，递增，又，
①当时，成立，即在，递增，
则，即成立；
②当时，在，递增，且，
必存在使得，
则时，，
即时，与在，恒成立矛盾，
故舍去．
综上，实数的取值范围是．
10．设函数，其中常数．
（1）讨论的单调性；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1），
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数．
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数．
（2）由（1）知，当时，在或处取得最小值，，
由假设知，即，解得，
故的取值范围是，．
11．已知函数，
（1）证明为奇函数，并在上为增函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，当时，，求的最大值．
【解析】解：（1），，所以为奇函数
，而，在上恒成立，所以在上增，
（2）由得，，变形得，
只要大于或等于右边式子的最大值即可
令得，

；
（3），


．
，
当时，，，，等号仅当时成立，所以在上单调递增．而，
所以对任意，．
当时，，
若满足，即时，．而，因此当时，，不满足要求．
综上，故的最大值为2．
12．设函数且
（1）求函数的单调区间；
（2）已知对任意成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）函数的导数为，由，由，
即函数在上单调递增，在，及上单调递减．
（2）因为时，，由得，即求函数的最大值即可．
由（1）知，函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以函数在上，当时取得最大值为，所以，
即实数的取值范围．
13．设函数，
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）当上恒成立时，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
【解析】解：（2分）
（Ⅰ）所以当时，，在是增函数（4分）
当时，在上在上，
故在上是增函数，在上是减函数（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上不恒成立；（8分）
当时，在处取得最大值为，
因此，即时，在上恒成立，
即在上恒成立．
所以当在上恒成立时，的取值范围为（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，的最大值为
所以（当且仅当时等号成立），令，
则得，即，（12分）
从而得，由函数的单调性得（14分）
14．已知函数的定义域是．
（1）求函数在，上的最小值；
（2），不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），．
当时，在，上递减；
当时，在，上递增．
当时，在，上递增，；
当时，在，上递减，在，上递增，（1）．
．
（2），恒成立，即恒成立．
由（1）可知，，当且仅当时取等号，
又，当且仅当时取等号，
当且仅当时，有．
．
15．已知，．
（Ⅰ）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，对于任意，，均有恒成立，试求参数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，
，
对于任意上，满足，即，，
而，当且仅当时，取最大值5，所以．
（Ⅱ），
，
令，可得或，
所以函数在单调递增，在，单调递减，
所以，
恒成立，满足，
即，
所以的取值范围是，．
16．已知函数 是实数）．
（1）当时，求函数在定义域上的最值；
（2）若函数在，上是单调函数，求的取值范围．
【解析】解：（1）时，，
函数在，上单调递减，在，上单调递增，
因此时函数取得极小值即最小值，
．时，．
函数在定义域上有最小值为，无最大值．
（2），，，
，
当时，恒成立，
在，上是单调函数．
当时，，
在，上是单调函数．
时恒成立，解得，
综上所述的取值范围为，，．
17．设函数，．
（Ⅰ）当为自然对数的底数）时，求的极小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数；
（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，
当时，，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
时，取得极小值（e），
的极小值为2；
（Ⅱ）由题设，
令，得，
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
是的唯一极值点，且是极大值点，
也是的最大值点，
的最大值为（1）．
又，结合的图象（如图所示），可知

①当时，函数无零点；
②当时，函数有且只有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④当时，函数有且只有一个零点，
综上所述，当时，函数无零点；
当或时，函数有且只有一个零点；
当时，函数有两个零点；
（Ⅲ）对任意的，恒成立，
等价于恒成立，
设，
等价于在上单调递减，
由在上恒成立，
得恒成立，
（对，仅在时成立），
的取值范围是，．
18．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数单调性；
（Ⅲ）是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）当时，，
．
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时，；
时，（2）．
（Ⅱ）当时，，
①当，即时，由可得或，此时单调递增；
由可得，此时单调递减；
②当，即时，在上恒成立，此时单调递增；
③当，即时，由可得或，此时单调递增；
由可得，此时单调递减．
综上：当时，增区间为，，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为，，减区间为．
（Ⅲ）假设存在实数，对任意的，，且，有恒成立，
不妨设，则由恒成立可得：恒成立，
令，则在上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，
，即恒成立，又，
在时恒成立，
，
当时，对任意的，，且，有恒成立．
高考预测二：不等式存在性问题
19．设函数，且，曲线在点，（1）处切线的斜率为0．
（1）求的值；
（2）若存在，，使得，求的取值范围．
【解析】解：（1）函数，且，
导数，
曲线在点，（1）处的切线斜率为0，
（1），
解得．
（2）函数的定义域为，
由（1）可知：，
．
①当时，则，
则当时，，
函数在单调递增，
存在，使得的充要条件是（1），即，
解得；
②当时，则，
则当时，，函数在上单调递减；
当，时，，函数在，上单调递增．
存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去．
③若时，（1），成立．
综上可得：的取值范围是，，．
20．设函数，曲线在点，（1）处的切线的斜率为0．
（1）求的值；
（2）设，若存在，，使得且，求的取值范围．
【解析】解：（1），
曲线在点，（1）处的切线斜率为0，
（1），解得．
（2）由于，
则令，
函数的定义域为，
．
①当时，则，
则当时，，
函数在单调递增，
存在，使得的充要条件是（1），即，
解得；
②当时，则，
则当时，，函数在上单调递减；
当，时，，函数在，上单调递增．
存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去．
③若时，（1），成立．
综上可得：的取值范围是，，．
21．已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若在区间，上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）因为，（2分）
当，，
令，得，（3分）
又的定义域为，，随的变化情况如下表：


1



0



极小值

所以时，的极小值为1．（5分）
的单调递增区间为，单调递减区间为；分
（2），．
令，得到，
若在区间，上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间，上的最小值小于0即可．
当，即时，对成立，
在区间，上单调递减，
故在区间，上的最小值为（e），
由，得；
当，即时，
①若，则对，成立，
在区间，上单调递减，
在区间，上的最小值为（e），
显然，在区间，上的最小值小于0不成立．
②若，即时，则有



，


0



极小值

在区间，上的最小值为，
由，
得，解得，即．
综上，由（1）（2）可知：，，．
22．已知函数．
（1）若，求函数的极小值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在区间，上存在一点，使得成立，求的取值范围，
【解析】解：（1）的定义域为，（1分）
当时，，，（2分）


1



0



极小

（3分）
所以在处取得极小值1．（4分）
（2），
（6分）
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；（7分）
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增．（8分）
（3）在，上存在一点，使得成立，即
在，上存在一点，使得，
即函数在，上的最大值小于零．（9分）
由（2）可知
①即，即时，在，上单调递减，
所以的最小值为（e），
由（e）可得，
因为，
所以；（10分）
②当，即时，在，上单调递增，
所以最小值为（1），由（1）可得；（11分）
③当，即时，可得最小值为，
因为，
所以，
故
此时，不成立．（12分）
综上讨论可得所求的范围是：或．（13分）
23．（1）若函数的单调递减区间求，的值；
（2）设，若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（3）已知函数，若函数的图象在点，（2）处的切线的倾斜角为，对于任意，，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围．
【解析】解：（1），
，
因为的单调递减区间，
所以方程的两根分别为，2，
即，，
所以；
（2），
函数的导数为，
若函数在，上存在单调递增区间，
即在，上有解
，
只需即可，
由，解得，
当时，，
则当时，恒成立，
即此时函数在，上为减函数，不满足条件．
（3）由（2），，
，
，
，
令得，△，
故两个根一正一负，即有且只有一个正根，
函数在区间上总不是单调函数，
在上有且只有实数根，
，，（3），
，，故，
而在，单调减，
，
综合得．
24．已知函数，，，．
（Ⅰ）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；
（Ⅱ）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）．
因为函数是上的增函数，所以在上恒成立．
则有△，即．
设为参数，，
则
当，且时，取得最小值．
（Ⅱ）当，时，

①当时，是开口向上的抛物线，
显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是．
②当时，显然成立．
③当时，是开口向下的抛物线，
要使在上存在子区间使，
应满足或
解得．
则的取值范围是．
高考预测三：恒成立与存在性的综合问题
25．已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设．当时，
若对任意，存在，，使，求实数取值范围．
对于任意，，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，
因为，
所以当时，，令得，
所以此时函数在上是增函数，在是减函数；（2分）
当时，，所以此时函数在是减函数；
当时，令，解得，
此时函数在是增函数，在上是减函数；（4分）
当，令，解得，
此时函数在是增函数，在上是减函数；（6分）
当，由于，令，解得，
此时函数在是增函数，在上是减函数．（8分）
（Ⅱ）当时，在上是减函数，在上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，，使，所以，，，
即存在，，使，即，即，
所以，解得，即实数取值范围是．（12分）
不妨设，由函数在，上是增函数，函数在，是减函数，
等价于，
所以
设是减函数，
所以在，上恒成立，即，解得．（16分）
26．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，，均存在，使得，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）．
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是．
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当时，，故的单调递增区间是．
④当时，，在区间和上，；区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是．
（Ⅱ）设，，，，为增函数，
由已知，（2）．由可知，
①当时，在，上单调递增，
故（2），
所以，，解得，故．
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故．
由可知，，所以，
综上．
27．已知函数为常数，
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当在处取得极值时，若关于的方程在，上恰有两个不同的相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，总存在，，使不等式成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）时，，
，于是（1），
又（1），即切点为，
切线方程为；
（2），，即，
，，
此时，，，上递减，，上递增，
又，，（2），
；
（3），
，，
即，
在，上递增，（1），
问题等价于对任意的，不等式成立，
设（a），
则（a），
又（1），（a）在1右侧需先增，（1），，
设（a），对称轴，
又，（1），
所以在上，（a），即（a），
（a）在上单调递增，（a）（1），
即，
于是，对任意的，总存在，，使不等式成立，
．