2020-2021学年8.4向量的应用导学案

向量的应用

平面向量是研究数学问题、物理问题的得力工具，用途十分广泛，也是近年高考命题的热点之一。因此本文就平面向量的应用作了分类说明。

1. 定比分点

例1. 已知，直线与线段AB相交于M，且，则a等于（    ）

A.    B. 2    C. 2或   D. 或4

解：由知：点M分所成的比

所以

因为 点M在直线上

所以

解得 或，选C。

2. 图象的平移

例2. 把函数的图象按向量a平移，得到的图象，且，，则__________。

分析：关键要弄清平移的方向，该题可将二次函数图象的平移问题转化为顶点的平移问题，化繁为简，化难为易，直观明了。

解：，其顶点坐标（1，3），的顶点坐标（0，0），将的图象按a平移得的图象，即将点（1，3）沿a平移得到点（0，0）

所以

因为

故可设

又

解得

所以

3. 三角问题

例3. 设平面上有4个互异的点A、B、C、D，已知，则△ABC的形状是（    ）

A. 直角三角形    B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形   D. 等边三角形

分析：根据向量运算的性质，将等价变形为是此题的关键，再进一步利用这一性质得到结果。

解：因为

所以

整理得

从而

故选B。

例4. 设，且，则锐角α的值可能是（    ）

A.    B.    C.    D.

解析：由，得

所以或

即或，故选A。

4. 力学中的应用

例5. 在点和上分别放置质量为2和8的两个质点，则它们的重心坐标为___________。

分析：由力矩平衡原理得出点P分的比，再用定比分点公式求出点P的坐标。

解：设重心，P点在线段上

所以 P点分的比

由力矩平衡原理

所以

所以

即 重心坐标为

5. 综合题

例6. 已知两点，且点P使，成公差小于0的等差数列。

（1）点P的轨迹是什么曲线？

（2）若点P的坐标，θ为与的夹角，求。

分析：本题主要考查向量的数量积，二次曲线，数列等基础知识，通过假设点P的坐标，写出各向量的坐标表示以及相应的数量积，由题意建立等量关系求出点P的轨迹。将平面向量与平面解析几何知识融合在一起的考查成为了对平面解析几何考查的热点。

解：（1）设，则

所以

由题意得

即

所以 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆（不含端点）

（2）若点P的坐标为，则

又

所以

因为

所以

于是

所以

例7. 已知向量，且。求：

（1）及；

（2）若的最小值为，求的值。

解：（1）

因为

所以

（2）

由，知

①当时，当且仅当时，取最小值，与已知矛盾；

②当时，当且仅当时，取得最小值，令，解得；

③当时，当且仅当时，取最小值，令，解得，与矛盾。

综上所述，即为所求。

总之，平面向量进入中学教材，一方面为使用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，另一方面向量的运算律与数量的运算律形成鲜明对比，从它们的联系与区别看到一种新的运算体系的构成。