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高中数学沪教版高中二年级 第二学期13.4复数的乘法与除法教课ppt课件
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这是一份高中数学沪教版高中二年级 第二学期13.4复数的乘法与除法教课ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了复数的乘法与除法，复数乘法的法则，复数的除法法则，例题选讲，重要性质的应用，解Δ16-4m等内容，欢迎下载使用。
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
2.复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.
3:复数的一个重要性质
6.一些常用的计算结果
(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.
例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i +2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
答案:(1)255-i;(2)1.
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.
例4:如图所示,平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方 向)中,各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a+ai/2, zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数),求zC/zA的值.
解:因为OABC是平行四边形,
解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.
代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.
解2:由已知可设(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).
消去k,得x2+y2=1且y≠0.
所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0)
在上述的条件中,特别要注意对第(2)个结论的灵活运用,事实上这是一个最常用的结论.
例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.
解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1.
故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|.
所以,当x=1时,|z2+z+1|最大值=3;
当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0.
例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证:(z1/z2)2<0
解3:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),代入条件式并利 用模的计算公式可得ac+bd=0.
从而可知z1/z2是纯虚数,故 (z1/z2)2<0.
例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1
练习3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.
三、实系数一元二次方程
几何意义:两根在复平面内的对应点关于x轴对称.
例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+x24的值.
例2:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、x2,且|x1-x2|=3,求 实数a.
综合(1)、(2)得m=3或5.
类1:设x1、x2是关于x的方程x2-3x+m=0的两根,m∈R, 且|x1|+|x2|=4,求m的值.
解:由韦达定理得:x1+x2=3①,x1x2=m②.
(1)当x1,x2∈R时,Δ=9-4m≥0,m≤9/4.
故当0≤m≤9/4时,则由②得x1x2≥0,从而又由①得|x1|+|x2|=x1+x2=3,与已知矛盾.
所以m<0,此时x1x2<0.
又由已知得,|x1|+|x2|=2|x1|=4,|x1|=2,所以m=4.
类2:已知方程x2+2px+1=0的两个虚根为x1、x2,且x1、 x2、1在复平面内的对应点是一个正三角形的三个 顶点,求实数p.
解:由已知知Δ=4p2-4<0,得p2<1.
故所求的p值为1/2.
1.进行复数的除法运算时,通常进行分母实数化.
2.利用某些特殊复数的运算结果,可以常常化简复数的 运算.
3.掌握重要性质以及复数为实数和纯虚数的条件.
4.掌握实系数一元二次方程有虚根时的理论和应用.
5.在复数的运算过程中,要注意复数整体的把握和应用.
p.267~268课后强化训练.
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
2.复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.
3:复数的一个重要性质
6.一些常用的计算结果
(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到n∈Z.
解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.
例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i +2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
答案:(1)255-i;(2)1.
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.
例4:如图所示,平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方 向)中,各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a+ai/2, zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数),求zC/zA的值.
解:因为OABC是平行四边形,
解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.
代入a2+b2=|z|2=25,解得a2=16.
解2:由已知可设(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).
消去k,得x2+y2=1且y≠0.
所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0)
在上述的条件中,特别要注意对第(2)个结论的灵活运用,事实上这是一个最常用的结论.
例1:已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值.
解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1.
故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|.
所以,当x=1时,|z2+z+1|最大值=3;
当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0.
例2:设非零复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证:(z1/z2)2<0
解3:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),代入条件式并利 用模的计算公式可得ac+bd=0.
从而可知z1/z2是纯虚数,故 (z1/z2)2<0.
例3:求同时满足下列两个条件的所有复数z:(1)1
练习3:已知|z|=1,求|z2-z+3|的最值.
三、实系数一元二次方程
几何意义:两根在复平面内的对应点关于x轴对称.
例1:设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,求x14+x24的值.
例2:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、x2,且|x1-x2|=3,求 实数a.
综合(1)、(2)得m=3或5.
类1:设x1、x2是关于x的方程x2-3x+m=0的两根,m∈R, 且|x1|+|x2|=4,求m的值.
解:由韦达定理得:x1+x2=3①,x1x2=m②.
(1)当x1,x2∈R时,Δ=9-4m≥0,m≤9/4.
故当0≤m≤9/4时,则由②得x1x2≥0,从而又由①得|x1|+|x2|=x1+x2=3,与已知矛盾.
所以m<0,此时x1x2<0.
又由已知得,|x1|+|x2|=2|x1|=4,|x1|=2,所以m=4.
类2:已知方程x2+2px+1=0的两个虚根为x1、x2,且x1、 x2、1在复平面内的对应点是一个正三角形的三个 顶点,求实数p.
解:由已知知Δ=4p2-4<0,得p2<1.
故所求的p值为1/2.
1.进行复数的除法运算时,通常进行分母实数化.
2.利用某些特殊复数的运算结果,可以常常化简复数的 运算.
3.掌握重要性质以及复数为实数和纯虚数的条件.
4.掌握实系数一元二次方程有虚根时的理论和应用.
5.在复数的运算过程中,要注意复数整体的把握和应用.
p.267~268课后强化训练.
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