沪教版高中二年级 第二学期12.6双曲线的性质教学设计

12.6双曲线的性质

一、教学内容分析

本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.

本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.

二、教学目标设计

   本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.

三、教学重点及难点

   重点：双曲线的性质.

   难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、 复习引入

   1．观察

     复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中的意义（与椭圆对比）

   2．思考

（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？

   [说明] 讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.

   3．讨论

研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？

二、学习新课

   1．概念辨析

以双曲线标准方程，为例进行说明.

 1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.

从双曲线的方程如何验证？

由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心

3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长

而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用  把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长

归纳：顶点：       特殊点：

实轴：长为2a，a叫做半实轴长.

虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长.

注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异

4． 渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为.

（1）      定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；

（2）      直线与双曲线在无穷远处是否相交？

解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分与直线的位置关系;

设是上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,

，∴在的下方.

∴

，是关于的减函数，∴无限增大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；

（3）      求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；

若方程为，则渐近线方程为.

2．问题拓展

（一）等轴双曲线

1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

2、方程：或.

3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时交点在轴，当时焦点在轴上. 

例：等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.

（二）共轭双曲线

1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.

2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为;

（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;

3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；

4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；

（2）与（a≠b）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；

例如：分清①、与②、③、④、⑤之间的关系.

（三）共渐近线的双曲线系方程

问题  (1)与;(2) 与的区别?

(1) 不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2) 不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.

问题: 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？

如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成.

当时交点在x轴，当时焦点在y轴上.

即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.

证明：若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，

∴两双曲线渐近线相同；

若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，

∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.

[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．

  3．例题分析

1、若双曲线以为渐近线, 根据下列条件，分别求双曲线标准方程.

（1）      且实轴长为；（2）过点；（3）一个焦点坐标为.

解：（1）设双曲线方程为,

当时焦点在x轴上，，双曲线方程;

当时焦点在y轴上，，双曲线方程;

（2）设双曲线方程为

将代入得，双曲线方程

（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，，双曲线方程为.

2、（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角；

（2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程.

解：（1）渐近线方程为，，;

（2）      当焦点在轴上时，方程为;

     当焦点在轴上时，方程为.

三、巩固练习

1、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是            .

2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.

3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.

4、以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是       .

四、课堂小结

双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是或写成.

五、作业布置

1、习题册P363，4，5，6，7

2、补充作业

（1）求方程mx2＋ny2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标. 

翰林汇3（2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程.

（3）求以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程.

七、教学设计说明

  1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.

2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.

3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.