数学高中一年级 第一学期2.4基本不等式及其应用教学设计及反思

2.4（2）基本不等式及其应用

一、教学目标设计

1、进一步掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数）.

2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.

3、进一步理解代换的数学方法.

二、教学重点及难点

基本不等式的简单应用.

三、教学流程设计

四、教学过程设计

一、复习

基本不等式1  对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.

基本不等式2  对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.

我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[说明]

复习过程中需强调三点：

1、两个基本不等式各自适用的范围.

2、两个基本不等式各自等号成立的条件.

3、两个基本不等式之间的联系.

二、新课讲授

（2）几何问题

    根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.

例3  在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？

解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样面积的正方形的边长为.

    矩形周长，正方形周长.

    由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.

由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的周长最小.

[说明]

当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.

    例如，若时，，当且仅当时等号成立.（一方面当时，有，当且仅当时等号成立.另一方面当时，有，即，当且仅当时等号成立.）

    两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.

（2）代数证明

例4  求证：对于任意实数、、，有，当且仅当时等号成立.

证明：由基本不等式1，得

，，，

    把上述三个式子的两边分别相加，得，即，当且仅当时等号成立.

另证：

.

    即，当且仅当时等号成立.

例5  均值不等式链

设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立.

证明：（1）由、，得，当且仅当时等号成立.

（2），当且仅当时等号成立，已证.

（3）由

.

    所以，当、时，有，当且仅当时等号成立.

    综合（1）、（2）、（3）得，当、时，有，当且仅当时等号成立.

[说明]

事实上当、时，有：

① ，当且仅当时等号成立.

② .

证明：① 由，当且仅当 时等号成立.

       ② 由

.

          即，.

          不等式等号成立当且仅当.

          不等式等号成立当且仅当.

          不等式等号成立当且仅当.

例6  甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；问：谁先到达B地？

解：设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，则。

    因此。

所以，当时，，甲、乙两人同时到达B地；当时，，甲先到B地。

另解：设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，平均速度分别为、，则

。

因而，当时，，甲、乙两人同时到达B地；当时，，甲先到B地。

三、课堂小结

略

四、作业布置

1、习题2.4 1、2、4、7

2、思考题

    均值不等式链的几何解释.

五、教学设计说明

本堂课是《基本不等式及其应用》的第二节课，在学生掌握两个基本不等式的前提下，介绍了基本不等式的简单应用.

   从上堂课的最后一个几何问题入手，得出例3的结论，并在此基础上归纳出利用基本不等式求最值（最大值、最小值）的基本方法.

   在讲解完例4有关利用不等式进行简单代数证明后，结合上堂课留给学生的思考题（整理一些基本不等式的常用变式并给出证明）给出“基本不等式链”.有关“基本不等式链”的证明应由学生给出，一方面作为课堂练习，另一方面也给出了一个重要的不等式结论，这个结论在以后的学习中还会用到.对于说明中的相关内容，视学生的情况而定，可由教师做适当引导，也可留为课后思考.

    整堂课的教学重在两个基本不等式的应用.在如何使用基本不等式解决问题（几何、代数）的同时，需对两个不等式适用的范围以及各自等号成立的条件做反复强调.