高中数学沪教版高中二年级 第一学期8.2向量的数量积教案及反思

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第三节          平面向量的数量积            考纲解读1、             理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2、             了解平面向量数量积的与向量投影的关系。3、             掌握数量积的坐标表达，会进行平面向量数量积的运算。4、             能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。考点梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量                      叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为          . 向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影； (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影        的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝                        ＝                        ．λ∈R；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的性质设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模 夹角   与的关系 基础自测1、设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（·）－（·）=  ②||－||<|－|  ③（·）－（·）不与垂直   ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（    ）A.①②      B.②③      C.③④      D.②④2、| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 （    ） A．30° B．60° C．120° D．150°3、已知向量与的夹角为，则等于（   ）   A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．14.（11年辽宁)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（  ）（A）-12            （B）-6         （C）6          （D）125.已知向量满足，与的夹角为，则在上的投影为       题型一：数量积的概念及运算例1．判断下列各命题正确与否：（1）； （2）； （3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；  （6）对任意向量，有。 变式1． （1） 已知△中，过重心的直线交边于，交边于， ，，则       题型二：向量的夹角与模例2．（1）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（    ）   （A）4    （B）3   （C）2    （D）1（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是                       。（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。  变式2．（1）（09辽宁）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于A.             B.2           C.4            D.12   题型三平面向量的垂直问题例3.已知平面向量，（1）证明：；（2）若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.     变式3、设向量满足若,求的值       题型四  数量积的综合应用例4（看80页例4）已知，，其中．
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．   变式4已知，函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值。  课后作业一、选择题1．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)A．6　　 　　B．5　　 　　C．4　　 　　D．32．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝(　　)A．－1       B．1         C．－2       D．2    3.（2011年全国卷文科3)设向量满足||=||=1, ,则   （A）   （B）   （C）   （D）4．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)A．150°      B．120°     C．60°       D．30°5．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为(　　)A．4a－5b＝3             B．5a－4b＝3C．4a＋5b＝14            D．5a＋4b＝14二、填空题6．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为________．7．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a∥b且a∥c，则b∥c.②若a＝(2，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－6.③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．8．|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是________．三、解答题    9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 10．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α) (1)若·＝－1，求sin(α＋)的值；(2)若|＋|＝，且α∈(0，π)，求与的夹角． 一、选择题:4．（2011年重庆卷文科5)已知向量共线，那么的值为 A．1          B．2             C．3        D．45．(11年广东)已知向量，若为实数，，则=   A．          B．           C．             D．二、填空题：5. （2011年海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则      .6. （2011年福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________.7. （2011年四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，=(A)0 (B) (C) (D)8．（2011年湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反，则的坐标为        ．9．（2011年湖北卷文科2)若向量，则与的夹角等于A. B. C. D. 10.（2011年浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ取值范围是___。11. (2011年天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为        .12.(2011年江苏卷10)已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为   . 例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。   分析：用解方程组思想法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y∵ <，>=<，>∴ ∴ 即           ①又||=∴ x2+y2=2                ②由①②得  或（舍）∴=法二：从分析形的特征着手∵ ||=||=2   ·=0∴ △AOB为等腰直角三角形，如图∵ ||=，∠AOC=∠BOC∴ C为AB中点∴ C（）说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。