高中数学沪教版高中二年级 第一学期8.1向量的坐标表示及其运算导学案及答案

这是一份高中数学沪教版高中二年级 第一学期8.1向量的坐标表示及其运算导学案及答案，共6页。学案主要包含了解前点津，规范解答，解后归纳等内容，欢迎下载使用。
数乘向量及坐标运算 ●考试目标  主词填空1.实数与向量的积a与λa同向的充要条件是λ>0.a与λa反向的充要条件是λ<0.λ·(a+b)=λa+λbλ·(a-b)=λa-λb设a=(x,y),则λa=(λx,λy).2.向量的坐标运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2且y1-y2,a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1=0.3.三点共线的充要条件A、B、C三点共线存在λ∈R,使=λ.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. ●题型示例  点津归纳【例1】  设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k值.【解前点津】  因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ由此等式可得关于λ,k的方程组，从而可求得k值.【规范解答】  由条件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ(e1-e2)λ=2且k=-4λ,∴k=-8.【解后归纳】  利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.【例2】  一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.【解前点津】  用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.【规范解答】  如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度，∠AOC=30°,||=5 km/h.∵OACB为矩形，||=||·cot30°=||·cot30°=5=8.66(km/h),||=10km/h.所以，水流速度为8.66km/h,船实际速度为10km/h.【解后归纳】  有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功.【例3】  (1)证明:三个两两不平行的向量a,b,c可以构成一个三角形(每个向量的始点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a+b+c=0.(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.【解前点津】  利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论.【规范解答】  (1)充分性:∵a+b+c=0,∴a+b=-c根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c可以构成一个三角形;必要性:∵向量a、b、c可以构成一个三角形，∴不妨设在△ABC中,=a,=b,=c,根据多边形法则,∵++==0,∴a+b+c=0.(2)如图，D、E、F分别是△ABC中三边的中点，因为=+=+,=+=+,=+=+BC.∴将上述三式相加得,++=(++)=·0=0.【解后归纳】  熟练应用“三角形”法则以及“多边形法则”，是必须具备的一项“基本功”.【例4】  用向量法证明:三角形三中线交于一点.【解前点津】  在△ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及GC,欲证三中线共点，只须证明:G在中线CF上，从而只须证明与共线.【规范解答】  ∵=+,=+,∴=(+)+(+)      ①又∵=+,=+,∴两式相减得:+=(+)即(+)=(+)代入①消去+得=(+)+(+)=(+)      ②∵=+,=+,∴2=(+)      ③比较②③得=2,∴∥,∴C、G、F在一条直线上，故G在中线AF上.【解后归纳】  证明“线共点”或“点共线”问题，常转化为向量共线的问题. ●对应训练  分阶提升一、基础夯实1.设e1,e2是同一平面内的两个非零向量，则有    (    )A.e1∥e2     B.|e1|=|e2|     C.同一平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1与e2不共线，则同一平面内的任一向量a,都存在实数λ,μ,使a=λe1+μe22.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1,e2是不共线的非零向量，则a+b与c=6e1-2e2的关系是    (    )A.不共线    B.共线    C.相等    D.无法确定3.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于    (    )A.3      B.-3      C.0      D.24.若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则    (    )A.λ·μ=1     B.λ·μ=-1     C.λ=μ=0     D.λ,μ不确定5.已知a,b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共线,则λ1=    (    )A.2      B.1      C.-1      D.06.若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则    (    )A.=      B.=()C.=2         D.=()7.已知=(x,y),点B的坐标为(-2,1),则的坐标为    (    )A.(x-2,y+1)    B.(x+2,y-1)   C.(-2-x,1-y)    D.(x+2,y+1)8.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b等于    (    )A.(7,1)      B.(-7,-1)      C.(-7,1)     D.(7,-1)9.已知点B的坐标为(m,n),的坐标为(i,j),则点A的坐标为    (    )A.(m-i,n-j)    B.(i-m,j-n)    C.(m+i,n+j)    D.(m+n,i+j) 二、思维激活10.已知平行四边形ABCD的顶点:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)则第四个顶点D的坐标是           .11.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λ=          ,μ=          .12.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k=          .13.已知=i-2j,=i+m·j,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若A、B、C三点共线，则实数m=          .三、能力提高14.在平行四边形ABCD中.(1)设对角线=a,=b,求:,,,;(2)设边和的中点为M、N,且=p,=q,求,.           15.设a=,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,求点A的坐标.         16.用向量证明:平行四边形对角线互相平分.       17.在平行六面体ABCD-EFGH中,证明:++=2.                    第2课  数乘向量及坐标运算习题解答 1.D  直接使用平面向量基本定理.2.B  ∵a+b=3e1-e2=·c.3.A  由条件:3x-4y=6且3=2x-3y,解之:x=6且y=3故x-y=3.4.C5.D  令c=x·b则由x·b=λ1a+λ2b得x=λ2且λ1=0.6.B  如图所示:∴=7.C  ∵,所以,=-=(-2,1)-(x,y)=(-2-x,1-y).8.B  -3a-2b-3(3,-1)-2(-1,2)=(-9,3)+(+2,-4)=(-7,-1).9.A  =-=(m,n)-(i,j)=(m-i,n-j).10.设D(x,y),∵=,∴(-1,-2)-(3,-1)=(x,y)-(5,6)故(-4,-1)=(x-5,y-6).由 得:  故D点坐标是(1,5).11.由(7,-4)=λ(3,-2)+μ·(-2,1)得:7=3λ-2μ,且-4=-2λ+μ解之:λ=1,μ=-2.12.∵ka+b=k·(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2);a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),∴10·(2k+2)=-4(k-3)  k=-.13.因,=(1,m)故由∥得-2=m即m=-2.14.(1)如图(1)，记平行四边形ABCD的对角线交点为0,因平行四边形对角线互相平分，所以:=+=a-b;=+=b+a;=+=-a+b;=+=-b-a.(2)如图(2)所示,∵=++=+q-=+q       ①又=++=-+(-p)+=-p      ②解①②构成的方程组得:=q-p,=q-p.15.设A(x,y),则=(1-x,-y)代入a=3b-2c得:(1-x,-y)=3(-3,4)-2(-1,1),故.16.如图，AC与BD是平行四边形ABCD的两对角线，O是其交点.设A(0,0),B(a,0),D(b,c),则可推算c(a+b,c),于是直线lBD为:y=,直线lAC为:y=,解此方程组得交点O的坐标是,故O是AC与BD的中点.17.证明:∵ABCD-EFGH是平行六面体，∴=,=,=故有:=+      ①=+      ②=+       ③=++        ④由①+②+③+④得:4=+++(+)+(+)+2=+++2,∴++=2.