高中数学沪教版高中二年级 第一学期7.1数列教学设计

3.4  数列通项公式

一、内容与解析

 (一）内容：数列通项公式

（二）解析：本节课要学的内容数列的通项公式，指的是由给出数列的前几项或者递推公式或者前n项的和求其通项公式.学生已经学习了等差、等比数列,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它在本章中属于综合性比较强的知识，能够体现学生的观察、归纳等能力,所以在本学科有重要的地位,是本学科的重要内容.教学的重点是掌握特定类型数列的通项公式的求法,解决重点的关键是归纳出每种特定类型数列的特点。

二、教学目标及解析

(一)教学目标:掌握特定类型数列的通项公式的求法。

(二)解析:就是掌握用归纳法、累加法、应用公式法、待定系数法求数列的通项公式。

三、问题诊断分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是什么时候用什么方法。产生这一问题的原因是对已知条件分析不清.要解决这一问题,就是要带领学生进行归纳。.

四、教学过程 

(一) 观察法：给出一个数量的前几项，通过观察，写出数列的通项公式。

例1 已知数列的前5项分别为1,4,9,25,36….

(二) 累加法（也叫逐差求和法）：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.

例1  已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而利用逐差求和法求得数列的通项公式。

(三) 累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).

例2 已知,,求数列通项公式.

【解析】： ,,且当时，满足，.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

例3已知数列满足，求的通项公式。

解：因为 ①

所以  ②

用②式－①式得

则  故     

由，，则，又知，则，代入（3）得。所以，的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

(四) 构造新数列: 将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.

例4  已知数列中, ,,求的通项公式.

【解析】:利用,求得,是首项为

,公比为2的等比数列,即,

反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列

(五) 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。

例5  已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？

【解析】： ， ， ，又， .

反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

例6  已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

应用

五、目标检测

优化作业