河南省南阳市2022届高三上学期期中考试数学（理）含答案

2021年秋期高中三年级期中质量评估

数学试题(理)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束，只交答题卡。

第I卷 选择题(共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知：全集U＝R，集合A＝{x|log2(x－1)<1}，集合B＝{x|ex>3}，则图中阴影部分表示的集合是

A.{x|1<x≤ln3}     B.{x|x≤ln3}     C.{x|1<x<ln3}     D.{x|x<ln3}

2.已知复数z满足z＋＝1，则|z|＝

A.     B.1     C.2.     D.

3.已知函数f(x)＝log2|x－a|的对称轴为直线x＝2，则函数f(x＋1)的对称轴为

A.直线x＝0     B.直线x＝1     C.直线x＝2     D.直线x＝3

4.已知向量|a|＝，a·b＝8，|a＋b|＝5，则|b|＝

A.2     B.2     C.2     D.3

5.把函数f(x)＝sin(2x－)的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的曲线向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数y＝cosx的图像，则a可以是

A.     B.     C.     D.

6.已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和。且a1＝2021，S9＝S4，若ak＋a3＝0，则k的值为

A.9     B.10     C.11     D.12

7.对于函数f(x)＝x2－ax－lnx(a∈R)，下列说法正确的是

A.函数f(x)有极小值，无极大值        B.函数f(x)有极大值，无极小值

C.函数f(x)既有极大值又有极小值      D.函数f(x)既无极大值又无极小值

8.已知命题p：“∀x>0，x＋a－1≠0”，命题q：“∃x∈R，ex－ax＝0”，若p∧(¬q)为真命题，则实数a的取值范围是

A.[1，e)     B.[0，1]     C.(－1，0)∪[e，＋∞)     D.[e，＋∞)

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，若4n－1≥45(an＋2)，则n的最小值是

A.4     B.5     C.6     D.7

10.已知0<x<，则的最小值是

A.5     B.6     C.7     D.8

11.已知f(x)＝sinx＋其中f'(x)为函数f(x)的导数。则f(2021)＋f(－2021)＋f'(2022)－f'(－2022)＝

A.0     B.2     C.2021     D.2022

12.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋2在x＝1处取得极小值0，若∀x1∈[m，n]，∃x2∈[m，n]，使得f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则n－m的最大值为

A.2     B.3     C.4     D.6

第II卷 非选择题(共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若tan(α＋)＝，则cos2α＝           。

14.已知函数f(x)＝，设y＝f(x)－kx－2有两个零点，则实数k＝        。

15.定义[x]表示不大于x的最大整数(x∈R)，例如[2.1]＝2，[－1.5]＝－2，则使不等式2[x]2－17[x]＋21<0恒成立的x的取值范围是           。

16.已知直线y＝m与函数f(x)＝sin(ωx＋)＋(ω>0)的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A，B，C满足2|AB|＝|BC|，则实数m＝           。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分10分)

设函数f(x)＝－x2＋ax＋b，若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)。

(1)求f(－2x)<0的解集；

(2)比较与的大小。

18.(本题满分12分)

已知向量m＝(2，a)，n＝(sin(2x＋)，cos2x)，f(x)＝m·n，其中a∈R，函数f(x)图象的一条对称轴方程为x＝。

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若α∈(0，)，且f(α)＝，求sin2α值。

19.(本题满分12分)

如图，在△ABC中，AB>AC，AD、AE分别为BC边上的高和中线，AD＝4，DE＝3。

(1)若∠BAC＝90°，求AB的长；

(2)是否存在这样的△ABC，使得射线AE和AD三等分∠BAC？

20.(本题满分12分)

已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2－2ax＋1，a∈R。

(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)不存在极值点，求证：a<－1。

21.(本题满分12分)

已知数列{an}是正项等差数列，a1＝1，且a1≠a2。数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)，数列{bn}前n项和记为Sn，且Sn＋1＋Sn＝(－2)(n∈N＋)。

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若数列{cn}满足cn＝，其前n项和记为Tn，试比较Sn与Tn的大小。

22.(本题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x＋m(m∈R)。

(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；

(2)求证：当x>0时，≥lnx＋1。