数学高中一年级 第二学期5.2任意角的三角比教案

5.4 (1)两角和与差的余弦公式

上海市杨浦高级中学  曹丽琼

一、教学内容分析

两角和与差的余弦是三角恒等式的起始课，是本章中一系列的三角恒等式的基础，因此对两角和与差的余弦公式的掌握必须扎实.

两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点和难点.这一推导过程难度较大也比较复杂，教师可以通过设置问题情景，提出如何用两角的三角比表示两角差的余弦三角比.在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣,在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导.对学生在推导过程中出现的问题，例如任意角的准确表示等，教师需指出或以引导的方式加以更正.

在得到公式之后，需要观察和总结公式的特点和规律，便于记忆.在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难.

二、教学目标设计

探求两角和与差的余弦公式的推导，经历公式推导的过程，并在此过程中，进一步形成严密而准确的数学思维方法.初步掌握公式，并会应用它们解决一些简单的有关三角的求值问题与证明问题；

三、教学重点及难点

两角和与差的余弦公式的推导；

掌握和应用两角和与差的余弦公式.

四、教学流程设计

五、教学过程设计         

一、讲授新课

1、实例引入

（1）、 ，而，那么等式是否成立？（2）对于任意角、，的余弦如何用和的三角比来表示？

[说明]（1），而，所以等式不成立

（2）对学生所提出的猜想，用具体的数加以检验.通过检验发现不能用简单的或是等来表示.从而明确余弦运算不满足分配律

2、公式推导

设、是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角、，射线、分别为其终边，与单位圆相交于、两点，其坐标分别为，.

方法一、

将角的终边、都绕旋转角，分别转到和的位置，则，.

根据两点间距离公式，有

因为绕旋转角得到，所以

从而

也可以将角的终边、都绕旋转角，则同理可得，一方面由诱导公式可知，所以得到.另一方面，由于、表示任意角，所以用替换，替换公式仍成立.从而得到.

这个公式叫做两角差的余弦公式, 它对任意角和都成立.

在两角差的余弦公式中，用代替.可得到两角和的余弦公式：.

3、强调特征

两角和与差的余弦公式在结构上的特征为：

1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；

2、左右两边的加减号互异

4、例题解析

例1、利用两角和与差的余弦公式，求、的值.

解：、

[说明]可以选择不同的角及公式，例如，、；、

例2、化简：

    解：

[说明]两角差的余弦公式逆用.

例3、求的值.

    解：原式

[说明]公式变式训练.

例4已知三角形，求证：

[说明]

三、巩固练习

课本第54页 练习5.4（1）：1/（2）；2

四、课堂小结

（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.

（2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单

三角恒等式证明.

五、课后作业

思考题：求证下列恒等式：（1）；（2）

课本第54页 练习5.4（1）3；4

六、教学设计说明

两角差的余弦公式的推导是这堂课的教学难点.一方面，这一推导本身比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解.另一方面是来自于学生对待公式推导和证明的认识上.学生其实很清楚，从课本上所学的命题都是被证明过的，是真的.所以认为在课堂学习时，再证明一次并没有多大意义.他们会自觉地重视公式的应用，不自觉地忽视公式的推导.所以要做好证明教学是这堂课成功与否的关键，让学生在探寻、思考、构造的过程中将证明变成真正有意义的学习活动.

所以，在设计教学过程时，将公式的证明变形为开放式的探求.探求的起点是合理的联想：等于什么？一定是与、角的三角比有关.学生很容易联想到乘法分配律：，于是猜测.经过实例检验说明上式只对个别角度成立，不具有一般性，从而与乘法分配律区分开.再猜测、再检验…，从这样的过程中一方面培养学生逻辑思考的能力，激励学生探求公式的兴趣，另一方面，发现公式的形式不会太简单，于是转化思路，以求代猜.其基点便是任意角的概念：在直角坐标中由旋转而形成.而研究任意角三角比需借助单位圆的力量.让学生

体会到数形结合这一数学思想的美妙.

而在单位圆中作出角、时，

很容易忽略了两角的任意性，将它们表示为：

从而没能使接下去的证明涵盖到任意角.这里是教师训练学生逻辑思维和思维严密性的发力点，教师可以通过提问的形式，引导学生自己发现这一问题，想办法补救，使得推导严密准确，适用于任意角度.经历这样一个过程，不但使得学生对公式的任意性有了更好的认识，对变量替换思想有更好的理解，更使得学生的证明能力得到提高，数学的思维方法得到了培养.

在得到公式后，教师应对该公式的重要性加以肯定和突出.不仅能加强学生对公式的重视，更能使学生感到其努力是有价值的，从中体验到成就感.

将课本的例题4作为思考题留给学生，除了课堂时间有限这一因素之外，也作为与下一堂课的衔接.