2011年广东高考（文科）数学试题及答案

绝密★启用前                                            试卷类型：B

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．

线性回归方程中系数计算公式，，

样本数据的标准差，，

其中，表示样本均值．

是正整数，则．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数满足，其中为虚数单位，则

A．            B．              C．            D．

【解析】A.由题得所以选A.

2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为

A．4              B．3              C．2              D．1

【解析】C.方法一：由题得，，所以选C.

方法二：直接作出单位圆和直线，观察得两曲线有两个交点，所以选C.

3．已知向量．若为实数，∥，则

A．             B．             C．1              D．2

【解析】B.， 

所以选B.

4．函数的定义域是

A．       B．        C．        D．

【解析】C.由题得所以选C.

5．不等式的解集是

A．        B．        C．       D．

【解析】D由题得或，则不等式的解集为

6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点 的坐标为，则的最大值为

A．3             B．4             C．             D．

【解析】B由题知不等式组表示的平面区域D是如图中的梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。

,所以，所以选择B

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有

A．20            B．15            C．12             D．10

【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有条

8．设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为

A．抛物线        B．双曲线        C．椭圆           D．圆

【解析】A.设圆C圆心C，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A.

9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为

A．         B．

C．         D．

【解析】C.由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，所以选择C.

10．设是上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，；，则下列等式恒成立的是

A．

B．

C．

D．

【解析】B.对A选项

，故排除A

对B选项

，故选B

对C选项

，故排除C

对D选项

，故排除D

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（9 ~ 13题）

11．已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比               ．

【解析】2．

    或

∵是递增的等比数列，∴

12．设函数．若，则               ．

【解析】

，即，

则

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为                  ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为               ．

【解析】0.5;0.53由题得小李这 5天的平均投篮命中率为

（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为___________．

【解析】．

表示椭圆，表示抛物线

或（舍去），

又因为，所以它们的交点坐标为

15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形中，∥，

，，分别为上的点，且，

∥，则梯形与梯形的面积比为________．

【解析】      如图，延长，

             ∵，∴

             ∵，∴

             ∴

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）求的值；

（2）设，，，求的值．

【解析】（1）

（2），即

，即

∵，

∴，

∴

17．（本小题满分13分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

（1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．

【解析】（1），解得

标准差

（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为，且

则基本事件有，，，，，，，，，共10种

    这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中

设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”

则A中的基本事件有、、、共4种，则

18．（本小题满分13分）

图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,

,的中点．

（1）证明：四点共面；

（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．

【解析】证明：（1）连接

依题意得是圆柱底面圆的圆心

∴是圆柱底面圆的直径

∵分别为,,的中点

∴

∴∥

∵，四边形是平行四边形

∴∥

∴∥

∴四点共面

（2）延长到，使得，连接

∵

∴，四边形是平行四边形

∴∥

∵，，

∴面

∴面，面

∴

易知四边形是正方形，且边长

∵，

∴

∴

∴

易知，四边形是平行四边形

∴∥

∴，

∴平面．

19．（本小题满分14分）

设，讨论函数的单调性．

【解析】解：函数的定义域为

令

     ① 当时，，令，解得

则当或时，

当时，

则在，上单调递增，

在上单调递减

② 当时，，，则在上单调递增

③ 当时，，令，解得

∵，∴

        则当时，

当时，

则在上单调递增，在上单调递减

20．（本小题满分14分）

设，数列满足，≥．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数，≤．

【解析】（1）解：∵

∴

∴

① 当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列

∴，即

② 当且时，

当时，

∴是以为首项，为公比的等比数列

∴

∴

∴

综上所述

（2）证明：① 当时，；

② 当且时，

要证，只需证，

即证

即证

即证

即证

∵

，∴原不等式成立

∴对于一切正整数，≤．

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系上，直线：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足．

（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；

（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．

【解析】解：（1）如图所示，连接，则

∵，

∴动点满足或在的负半轴上，设

① 当时，，

，化简得

② 当在的负半轴上时，

综上所述，点的轨迹的方程为或

（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴

 ① 若是抛物线上的动点，过作于

由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有

则

当三点共线时，有最小值

     求得此时的坐标为

② 若是的负半轴上的动点

    显然有

综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为

（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率

∵点在抛物线内部，

∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点

则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：

① 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点

② 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点

③ 当时，直线与轨迹有且只有一个交点

④ 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点

综上所述，直线的斜率的取值范围是