2015年广东高考（理科）数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

1．若集合，，则

  A．              B．              C．                D．

2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则=

  A．3-2i             B．3+2i                  C．2+3i                D．2-3i

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

  A．        B．            C．        D．

4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所

   取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为

   A．1               B.                   C.                 D.

5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是

   A．或     B. 或     

   C. 或         D. 或

6．若变量x，y满足约束条件则的最小值为

   A．               B. 6               C.               D. 4

7．已知双曲线C：的离心率e=，且其右焦点F2( 5 , 0 )，则双曲线C的方程为  （     ）

   A．      B.       C.       D.

8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值

   A．大于5           B. 等于5          C. 至多等于4        D. 至多等于3

二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9-13题）

9．在的展开式中，x的系数为           。

10．在等差数列{}中，若，则=           。

11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a =，sinB=，C=，则b =       。

12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了         条毕业留言。（用数字作答）

13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写

了        条毕业留言。（用数字做答）

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为   A(,)，则点A到直线l的距离为       。

15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，

   BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=      。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

  在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sin x，cos x），x∈（0，）。

  （1）若m⊥n，求tan x的值  （2）若m与n的夹角为，求x的值。

17．（本小题满分12分）

    某工厂36名工人的年龄数据如下表。

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的平均值和方差；

（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？

18．（本小题满分14分）

   如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，，，.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且，.

（1）证明：；

（2）求二面角的正切值；

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

19．（本小题满分14分）

   设a>1，函数。

   (1) 求的单调区间 ；

   (2) 证明：在（，+∞）上仅有一个零点；

   (3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：

20．（本小题满分14分）

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

    数列满足 , .

    (1) 求的值；

    (2) 求数列前n项和Tn；

(3) 令，（），证明：数列{}的前n项和

满足

2015广东高考数学（理）试题（参考答案）

1、A     2、D    3、A    4、C     5、D     6、C     7、B     8、C

9、6　　10、10　　11、1　　12、1560　　13、　　　　15、8

16、

以下为选择填空解析！

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若集合，则

【答案】D

【解析】，

2.若复数（是虚数单位），则

【答案】A

【解析】，

3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

【答案】D

【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数

4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为

【答案】B

【解析】

5. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是

【答案】A

【解析】设所求直线为，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得 ，解得，所求直线方程为

6. 若变量满足约束条件，则的最小值为

【答案】B

【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标

函数，则当目标函数过点（1，），

取最小值为

7. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为

【答案】C

【解析】由双曲线右焦点为，则c=5，

        ，所以双曲线方程为

8. 若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值

【答案】B

【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件

故可排除A，C，D四个选项，故答案选B

二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9-13题）

9. 在的展开式中，的系数为         .

【答案】6

【解析】，则当时，的系数为

10. 在等差数列中，若，则         .

【答案】10

【解析】由等差数列性质得，，解得，所以

11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=         .

【答案】1

【解析】，又，故，所以

        由正弦定理得，，所以

12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了         条毕业留言。（用数字作答）

【答案】1560

13. 已知随机变量X服从二项分布，，，则         .

【答案】

【解析】，，解得

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为         .

【答案】

【解析】

即直线的直角坐标方程为，点A的直角坐标为（2，-2）

A到直线的距离为

15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知是圆的直径，,是圆的切线，切点为，，过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则=         .

【答案】8

【解析】

图1

如图所示，连结O，C两点，则,

,

则，所以,所以