高中数学沪教版高中二年级 第二学期12.1曲线和方程当堂达标检测题

                                    第八编    圆锥曲线

【考纲解读】

本章内容是高中数学的重要内容之一，也是高考常见新颖题的板块，各种解题方法在这里得到了充分的展示，尤其平面向量与其相融合，提高了综合性，近年来，新课程对圆锥曲线的考查重点是椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，题型主要是一道小题或与其他知识相综合的综合性大题，但对双曲线和抛物线的要求有所降低，特别是对直线与圆锥曲线的位置关系要求很低，到了几乎不考的程度，圆锥曲线的统一定义及其应用的考查频率较高。

【知识框架】

                        第一节        椭圆

【考点分析解读】   

1、椭圆是平面解析几何中的重要知识，椭圆的标准方程、椭圆的几何性质在历年的考试中都有考查，在客观题和主观题中均有考题，为B级要求，因此运用椭圆的标准方程、椭圆的几何性质来解决一些有关问题是要重点训练的内容，其中定义法解题也是重要考点。

2、求椭圆的标准方程的常用方法是：定义法；待定系数法。

3、常见考题出题点有：在焦点三角形中考查几何量之间的关系；在一个焦点与短轴端点的三角形中考查几何量之间的关系；焦点、中心点、长轴端点之间的关系处理等。

【教学目标】

1．掌握椭圆的第一定义、第二定义，会用定义解题；

2．掌握椭圆的第一和几何性质，会求椭圆的标准方程；

3．熟记椭圆的标准方程及其简单几何性质，能熟练地进行基本量间的互求。

【基本概念】

1．椭圆的定义

(1) 第一定义：   （为焦点，为焦距）

注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是          ．

②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．

（2）第二定义：

      注：第二定义中焦点与准线应对应

2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）

(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中(     >     >0，且    )

(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足：          ．

说明：（1）焦点在分母大的对应的坐标轴上；

     （2）及的几何意义

     （3）标准方程的统一形式：

          适用于焦点位置未知的情形

     （4）参数方程：

3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)

(1) 范围：     ≤ x ≤     ，     ≤ y ≤    

(2) 对称性：对称轴方程为                     ；对称中心为                   ．

(3) 顶点坐标：         ，焦点坐标：        ，长半轴长：         ，短半轴长：        ；

(4) 离心率：      (     与     的比)，       ，越接近1，椭圆越         ；越接近0，椭圆越接近于         ．

(5) 椭圆的准线方程为                ．

【课前预习】

1．若方程为焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_______________

 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是___________

3．若椭圆的离心率为，则实数______

4．已知为椭圆的左、右焦点，弦过，则的周长为______8

5．已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若，则|ON|的长等于      .1

【例题讲解】

例1：根据下列条件求椭圆方程

（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；

（2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为，且它的离心率；

（3）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；

（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点

小结：求椭圆的方法

例2：（1）椭圆上一点到它的左焦点的距离为6，则点到椭圆右准线的距离为_________

（2）已知是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为________2

小结：

（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，这个椭圆的方程是_________________

（4）已知椭圆的焦点，是椭圆上一点，，则_______

变式1：，则_______

变式2：，则______

变式3：已知椭圆的焦点，椭圆上存在一点，使，则离心率的取值范围是____________

例3：关于离心率的运算

（1）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为正三角形，则椭圆的离心率为_________

（2）在平面直角坐标系中，椭圆(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e=        .

（3）在中，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率e=       

(4) 以椭圆的右焦点为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则的取值范围是_______________

小结：

例4：（最值问题）

（1）设是椭圆上任意一点，分别为椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为________-9

变式：为椭圆上任一点，为右顶点，为下顶点则最大值为________

（2）椭圆内有两点为椭圆上一动点则的最小值为____

变式：若则最大值为__________

例5：设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为（1）求的值；

（2）设是上的两个动点，，

证明：当取最小值时，。

思路分析：

（1）根据椭圆的几何性质由已知条件布列方程，求出几何量

（2）向量与解析几何的结合问题，需要将向量关系通过点的坐标的代入转化为代数问题来处理，因此根据条件设出有关点坐标代入得出，再将表出结合条件进行处理。

解题过程：

（1）因为，到的距离，所以由题设得

         解得

由，得

（2）由得，的方程为

故可设

由知知

得，所以

当且仅当时，上式取等号，此时

所以，

解后语：发展条件，改造结论是数学解题的思维准则，本题的关键步骤就是将条件进行翻译，再将表出并处理

，

【课堂练习】

1．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为____________________

2.已知椭圆(a＞5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为          .

3．椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的      倍.

4．已知是椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，为椭圆上一点，且，若得面积为9，则_________________

5．椭圆的焦点为，点为椭圆上一动点，当为钝角，则点的横坐标的取值范围是_________________

6．为椭圆的左右焦点，若在右准线上存在一点使线段的中垂线过，则的取值范围是_____________