高中数学湘教版必修24.2向量的加法学案

4.2　向量的加法

1．向量的加法

(1)求向量的和的运算称为向量的加法．通过将两个向量首尾相接作出它们的和的方法叫作向量加法的三角形法则．

(2)平行四边形法则：从同一点O出发分别作向量＝a，＝b，以OA，OB为一组邻边作平行四边形OACB，则平行四边形的对角线OC所代表的向量＝＋＝a＋b.

(3)向量的加法满足交换律和结合律，即

①加法交换律：a＋b＝b＋a对任意两个向量a，b成立；

②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)对任意三个向量a，b，c成立．

预习交流1

向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别是什么？

提示：(1)三角形法则中的两个向量是首尾相连的，而平行四边形法则中的两个向量有公共的始点．

(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和．

(3)求两个向量的和，当一个向量的始点为另一个向量的终点时，可用三角形法则；而当它们的始点相同时，可用平行四边形法则．

预习交流2

由向量加法的三角形法则可知对任意向量a，b，|a|，|b|，|a＋b|之间有何不等关系？

提示：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.其中：

(1)当两个非零向量a与b方向不相同且不相反时，a＋b与a，b的方向都不相同或不相反，它们的模满足||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.

(2)当a与b同向时，a＋b与a，b的方向相同，它们的模满足|a＋b|＝|a|＋|b|.

(3)当a与b反向时，若|a|＞|b|，则a＋b与a同向，它们的模满足|a＋b|＝|a|－|b|；

若|a|＜|b|，则a＋b与b同向，它们的模满足|a＋b|＝|b|－|a|.

2．零向量和相反向量

(1)有向线段的长度为0.所表示的位移是从A移动到A，也就是没有移动．所表示的向量的大小为0，称为零向量．

(2)向量与大小相等，方向相反，和为0.称为的相反向量，记为＝－.

3．向量的减法

(1)为了表示平面上点的位置，我们可以在平面上取定一个点O作为基准点，称为原点．将平面上每个点A都用从O到A的向量来表示，称为A的位置向量．不同的点有不同的位置向量．反过来，对每个向量a，以a为位置向量可以作出唯一的一个点A，使＝a.

(2)从A到B的向量等于它的终点B的位置向量减去起点A的位置向量．

(3)a－b＝a＋(－b)．

预习交流3

向量减法的几何意义是什么？

提示：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b＝－，即a－b表示向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

预习交流4

对于非零向量a，b，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？

提示：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，即|a＋b|与|a－b|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．

一、求作已知向量的和向量与差向量

如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b－c.

思路分析：在平面内任选一点O，先把a与b移至共同起点O，求出a+b，再求(a+b)－c；或者将a与b移至首尾相接求得a+b后再计算(a+b)－c.

解：作法一：如图①，在平面内任取一点O，作，，则=a+b，再作，则=a+b－c.

作法二：如图②，在平面内任取一点O，作，，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

已知向量a，b，c，求作向量a－b+c.

解：在平面上任取一点O，作，，

则=a－b.再作=c，

并以BA，BC为邻边作BADC，

则=+=a－b+c.

如下图：

1．求作两个向量的和向量时，要注意向量求和的三角形法则和平行四边形法则的应用．

2．求作两个向量的差向量时，有以下两种思路：

(1)可以转化为向量的加法来进行，如作a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量终点的向量．

二、向量加法与减法运算的应用

化简下列各向量表达式：

(1)＋＋－－；

(2)(－)－(－)．

思路分析：主要利用向量的加法、减法的运算法则进行运算．

解：(1)＋＋－－

＝(＋＋)－(＋)

＝0－＝；

(2)(－)－(－)

＝(－)＋(－)

＝＋＝0.

化简下列各式：

(1)－－；

(2)＋＋－.

解：(1)－－＝－＝.

(2)＋＋－＝＋＝0.

当所要化简的向量表达式中含有以下两种形式时，可以利用向量的加法、减法进行化简：

(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用.

在正六边形ABCDEF中，O为中心，若＝a，＝b，用向量a，b表示向量，和.

思路分析：利用向量的加法与减法法则，结合正六边形的性质求解．

解：由正六边形的几何性质，得＝－b，＝－a.

在OBCD中，＝＋＝－a－b.

如图，解答下列各题：

(1)用a，d，e表示；

(2)用b，c表示；

(3)用a，b，e表示；

(4)用c，d表示向量.

解：(1)=++=d+e+a=a+d+e；

(2)=+=－c－b=－b－c；

(3)=e+a+b=a+b+e；

(4)=－d－c=－c－d.

解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．

三、向量加法、减法运算及模的综合问题

已知向量a，b的模长分别是|a|＝4，|b|＝6，求|a＋b|的最大值和最小值．

思路分析：利用向量加法运算的几何意义，对a，b的方向进行分类讨论，确定|a＋b|的最大值与最小值．

解：(1)当a，b方向不相同且不相反时，如图甲所示，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|||－|||＜||＜||＋||，即2＜|a＋b|＜10.

(2)若向量a，b同向，如图乙所示，||＝||＋||＝4＋6＝10，即|a＋b|＝10；

图甲

(3)若向量a，b方向相反，如图丙所示，||＝||－||＝6－4＝2，即|a＋b|＝2.

故|a＋b|的最大值为10，最小值为2.

已知|a|＝2，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围为__________．

答案：[3,7]

解析：由于||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知3≤|a＋b|≤7.

应用不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|时，要牢记不等式中等号成立的条件．

1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)

A．      B．

C．      D．

答案：D

2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　)

A．2      B．3

C．4      D．5

答案：D

解析：这5个向量表达式结果都与a＋b＋c相等．

3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)

A．      B．

C．      D．

答案：D

解析：－＝－＝.

4．化简：－＋＝__________.

答案：

解析：－＋＝＋＝.

5．若|a|＝1，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为__________．

答案：6

解析：当a与b方向相同时，|a＋b|的值取到最大，等于|a|＋|b|＝1＋5＝6.