高中数学湘教版必修24.5向量的数量积教学设计及反思

课    题：研究性课题向量在物理中的应用

教学目的：

1、使学生运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算，并

  在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力

2、通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等

  问题

教学重点：运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算

授课类型：新授课

课时安排：3课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1实例：两根等长的绳子挂一个物体

物理问题：分析绳子受到的拉力大小与两绳子间的夹角的关系？

2 实例：速度与分解问题

二、讲解新课：

1两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小与两绳子间的夹角的关系

分析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；

②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：

③讨论：

当逐渐增大时，的大小怎样变化？为什么？

当为何值时，最小，最小值是多少？

当为何值时，？

如果，在什么范围时，绳子不会断？

请同学们自行设定与的大小，研究与的关系？

利用结论解释教材上给出的两个物理现象

作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型

2 速度与分解问题

一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处船航行的速度，水流速度那么，与的夹角(精确到)多大时,船才能垂直到达对岸B处? 船行驶多少时间(精确到01min)?

分析：速度是向量

1启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，船被冲向下游，因而水速的方向怎样的呢？

2再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度的方向还是的方向？为什么？

3启发学生画出和的方向，思考一下向量-的方向如何确定？

4启发学生利用三角形法则作出-（即），再把的起点平移到，也可直接用平行四边形法则作出

5让学生完成的计算（注意和的方向垂直）

即,

=,

6让学生完成当船要到达图中的和，且分别为时，对应的分别是多少？

(1)求:    或  

(2)求:           或  

6组织学生讨论思考

，是否船垂直到达对岸所用时间最少？为什么？

三、讲解范例：

例1 如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度

解：在△ABC中，AB = 100m ,  CAB = 15, 

ACB = 4515 = 30

由正弦定理：   ∴BC = 200sin15

在△DBC中，CD = 50m ,  CBD = 45,  CDB = 90 + 

由正弦定理：cos = 

∴ = 4294

例2 一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块，现要求在所剩余的铁板中，再截出同样大小的铁板两块，问：这两块铁板的半径最大有多少cm？

解：设所求最大圆的半径为x，

则在△ABC中

又在△ACD中：

∴

例3某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间

解：设所需时间为t小时，在点B处相遇（如图）

在△ABC中，ACB = 120,  AC = 100,  AB = 21t,  BC = 9t, 由余弦定理：

(21t)2 = 102 + (9t)2  2×10×9t×cos120

整理得：36t2 9t  10 = 0   

解得：（舍去）

由正弦定理

∴CAB = 2147’

例4在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，

求云彩高

解：C、C’关于点B对称，设云高CE = x，

则CD = x  h，C’D = x + h，

在Rt△ACD中，

在Rt△AC’D中，

∴   

解得  

四、课堂练习：

1证明射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

证一：右边 == 左边

证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边

其余两式同

2 在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？

解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游

五、小结  如何把物理学问题转化为数学问题？如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成;已知和中任意两个向量，如何找出另一个向量？总结物理学中哪些地方可用向量

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：