湘教版必修25.3简单的三角恒等变换教学设计

平移

教学目的：

1.理解向量平移的几何意义；

2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.

教学重点：平移公式.

教学难点：向量平移几何意义的理解.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：
    启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移，引导学生弄清图形在平移前后新旧坐标间的关系，深刻理解一个平移就是一个向量，从而掌握向量平移在简化函数解析式的应用.

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0

3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积

4．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1ea = ae =|a|cos；2ab  ab = 0

3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|

 特别的aa = |a|2或

4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|

5． 平面向量数量积的运算律

交换律：a  b = b  a

数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)

分配律：(a + b)c = ac + bc

6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

，

7.平面内两点间的距离公式

（1）设，则或

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)

8.向量垂直的判定

设，，则 

9.两向量夹角的余弦（）   

cos=

二、讲解新课：

1.平移的概念

设F为平面内一个图形，将F上所有的点按照同一方向，移动同样的长度，得到，这个过程叫做图形的平移.

在图形平移过程中，自一点都是按照同一方向移动同样的长度，所以我们有两点思考：

其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量.

其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.

2.平移公式

设点P(x,y)按照给定的向量a＝（h,k）平移后得到新点，

则

容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为

3．图形的平移公式

给定向量a＝（h,k），由旧解析式求新解析式时，把公式，代入旧解析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式代入到新解析式中整理可得.

应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上.

三、讲解范例：

例1   (1)把点A(2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A’的坐标

(2)点M(8, 10)按a平移后对应点的坐标为(7, 4)，求a

      解：(1)由平移公式：  即对应点A’的坐标为(1, 3)

         (2)由平移公式：即a的坐标为(15, 14)

例2 将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到，求的函数解析式

解：设P(x, y)为l上任一点，它在上的对应点为

由平移公式：

 代入y = 2x得： 3 = 2    即： = 2 + 3

按习惯，将、 写成x、y得的解析式：y = 2x + 3

（实际上是图象向上平移了3个单位）

例3 已知抛物线y = x2 + 4x + 7，(1)求抛物线顶点坐标 (2)求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式

解：(1)设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点坐标为(h, k)

  则h = 2,  k = 3     ∴顶点坐标为(2, 3)

(2)按题设，这种平移是使点(2, 3)移到O(0, 0)，

设= (m, n)  则

设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点，对应点

则 

代入y = x2 + 4x + 7得 =     即y = x2

四、课堂练习：

1.将点P(7，0)按向量a平移，对应点A′(11，5)，则a等于（    ）

 A.(2，5)         B.(4，3)       C.(4，5)       D.(5，4)

2.将函数y=f(x)的图象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6ｓｉｎ５ｘ的图象，则f(x)等于（    ）

A.y=6sin(5x+15)+2                B.y=6sin(5x-15)+2

C.y=6sin(5x+15)-2                D.y=6sin(5x-15)-2

3.将函数y=4-n-(x-m)的图象按向量a平移得到的图象的函数为y=4-x，则a等于（     ）

A.(m,n)          B.(m,-n)      C.(-m,n)      D.(-m,-n)

4.按向量a把点A(1，1)平移后得到A′(3,-4)，按此平移法，则点B(-2，-1)应平移到       .

5.将一抛物线F按a=(-1,3)平移后，得到抛物线F′的函数解析式为

y=2(x+1)２＋３，则F的解析式为        .

6.若在直线l上有两点A(x１，y１)和B(x２，y２)，如果按向量a平移后，A点对应点的坐标为(2x１，２y１)，则B点对应点的坐标为       .

7．是否存在一个平移，它把点(0，-1)移至(1，0)，且把点(-1，3)移至(0，4).

8.将抛物线y=x２－4x＋5按向量a平移，使顶点与原点重合，求向量a的坐标.

9.将一次函数y=mx+n的图象C按向量a=(2,3)平移后，得到的图象仍然为C，试求m的值.

参考答案：1.C  2.D  3.C  4.(0,-6)  5.y=2x2  6.(x1+x2,y1+y2)

7.存在  8.(-2,-1)  9.

五、小结  通过本节学习，要求大家理解平移的意义，深刻认识一个平移就是一个向量，掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：