高中湘教版3.3三角函数的图像与性质教学设计及反思

课    题：1．4 三角函数的图象与性质（3）

教学目的：

1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法

教学重点：正、余弦函数的性质

教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

   2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)  (,1)  (,0)  (,-1)  (2,0)

余弦函数y=cosx   x[0,2]的五个点关键是

(0,1)  (,0)  (,-1)  (,0)  (2,1)

    3．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作： y＝sinx，x∈R    y＝cosx，x∈R

4．值域

正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx,x∈R

①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

5．周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期

1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx   2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

6．奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

7．单调性

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

二、讲解范例：

例1 求下列函数的周期：

(1)y＝3cosx，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R；

(3)y＝2sin(x－)，x∈R

解：(1)∵y＝cosx的周期是2π

∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现

∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π

即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．

只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现

∴y＝sin2x的周期是π

(3)令Z＝x－，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝ (x＋4π)－，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正数

从而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π

从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关

一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝

根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：

(1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π÷＝4π

例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0

(1)sin(－)－sin(－)；

(2)cos(－)－cos(－)．

解：(1)∵－＜－＜－＜．

且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数

∴sin(－)＜sin(－)

即sin(－)－sin(－)＞0

(2)cos(－)＝cos＝cos

cos(－)＝cos＝cos

∵0＜＜＜π

且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数

∴cos＜cos

即cos－cos＜0

∴cos(－)－cos(－)＜0

例3 求函数y＝的值域

解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1()2≤13y2＋2y－8≤0

∴－2≤y≤

∴ymax＝，ymin＝－2

例4f(x)＝sinx图象的对称轴是         

解：由图象可知：

对称轴方程是：x＝kπ＋(k∈Z)

例5 (1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?

(2)函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数?

解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：

2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)

∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋ 即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)为所求

(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋

得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求

或：令u＝－2x，则u是x的减函数

又∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，

∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减

设2kπ－≤－2x≤2kπ＋

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)

∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减

三、课堂练习：

1函数y＝cos2（x－）＋sin2（x＋）－1是(    )

A奇函数而不是偶函数                  B偶函数而不是奇函数

C奇函数且是偶函数                    D非奇非偶函数

2函数y＝sin（2x＋）图象的一条对称轴方程是(    )

Ax＝－        Bx＝－           Cx＝        Dx＝

3设条件甲为“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝”，则甲是乙的(    )

A充分非必要条件                       B必要非充分条件

C充要条件                             D既不充分也不必要条件

4函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为                   ．

5函数y＝sin2xtanx的值域为                             

6函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为(    )

A0         B －1         Cπ       D

7求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期

8求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值

9已知f（x）＝，问x在［0，π］上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值

参考答案：

1A  2A  3B  4   5［0，2  6C   7

8Ｔ＝  函数最大值为1  函数最小值为

9x＝时，f(x)取到最小值；

x＝时，f(x)取到最大值3

四、小结  在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、课后记：