高中数学湘教版必修23.3三角函数的图像与性质教学设计及反思

  三角函数图象与性质（1）

☆复习目标：1．理解正弦、余弦函数,正切函数的图象和性质；

              2．会用”五点法”画正弦、余弦函数的简图.

☻基础热身：

1. 在下列函数中，同时满足：

①在（0,）上递减；②以2为周期；③是奇函数.（     ）

A.y=tanx       B.y=cosx             C.y=-sinx           D.y=sinxcosx

2. 函数y=|sinx|的一个单调增区间是（     ）

A.           B.       C.         D. 

3. 函数y=acosx+b(a,b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 (  )

A.1                B.4                C.5            D.7

4. 若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大

值为（    ）

A.1          B.             C.           D.2

☻知识梳理：

1. 画出正弦函数、余弦函数、正切函数的简图

2.“五点法”作图

10.作在上的图象时,先作关键作用的五个点是   、    、  　、  　、  　；

20.作在上的图象时,先作关键作用的五个点是   、    、  　、  　、  　.

3.三角函数的性质

 ☆ 案例分析：

例1. 求下列函数的值域：

（1）y=;  (2)y=sinx+cosx+sinxcosx;   (3)y=2cos+2cosx.

例2. 求函数y=2sin的单调区间.

例3.(1)已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=(     )

   （A）    (B)     (C)－     (D)

例4. 已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.

参考答案:

基础热身：

1.C  2. 答案  C    3. 答案  C     4. 答案  B

例1. 解  （1）y===2cos2x+2cosx=2-.

                   于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,

                 ∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.  故函数值域为.

        （2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,         即sinxcosx=.

           有y=f(t)=t+=.

          又t=sinx+cosx=sin，  ∴-≤t≤.

         故y=f(t)= (-≤t≤),  从而知：f(-1)≤y≤f(),即-1≤y≤+.

        即函数的值域为.

     （3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx

          =2=2cos.

       ∵≤1     ∴该函数值域为［-2，2］.

例2. 解  方法一  y=2sin化成y=-2sin.           1分

       ∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为  （k∈Z),  (k∈Z),

      ∴函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定

     2k+≤x-≤2k+（k∈Z),  即2k+≤x≤2k+（k∈Z),                                                  

     2k-≤x-≤2k+（k∈Z),  即2k-≤x≤2k+（k∈Z).        11分

   ∴函数y=2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为（k∈Z),

       （k∈Z).                  12分

方法二  y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的. 1分

    又∵u=为减函数，   ∴由2k-≤u≤2k+（k∈Z),

     -2k-≤x≤-2k+ (k∈Z).即（k∈Z）为y=2sin的递减区间.

    由2k+≤u≤2k+ (k∈Z),   即2k+≤-x≤2k+ (k∈Z)

     得-2k-≤x≤-2k- (k∈Z),

    即（k∈Z)为y=2sin的递增区间. 11分

   综上可知：y=2sin的递增区间为（k∈Z）；

     递减区间为（k∈Z）. 

例3. (1)【答案】B

【解析】由图象可得最小正周期为      于是f(0)＝f(),注意到与关于对称

        所以f()＝－f()＝

     (2)

例4. 解  由题意知cos2x≠0，得2x≠k+，  解得x≠（k∈Z）.

       所以f(x）的定义域为.

     又f（x)= ==cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，

     ∴f(x)是偶函数.

     显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠,k∈Z.

      ∴-sin2x≠-.所以原函数的值域为.

三角函数图象与性质（2）

☆复习目标：1．应用待定系数法求的解析式；

            2．会用“五点法”和＂图象变换法＂画形如的图象及性质．

☻基础热身：

１.函数图像的对称轴方程可能是（       ）

A．   B．  C．  D．

２.已知是实数，则函数的图象不可能是 (    )

３.如果函数的图像关于点中心对称，那么 的最小值为（    ）

（A）           （B）          （C）            (D)     

4．用”五点法”作的图象时,首先描出的五个点的横坐标是                   ．

☻知识梳理：

1. 用五点法画（Ａ＞０,）一个周期内的简图

　 先找五个特征点，如下表所示

2. 函数

  最大值是      ，最小值是      ，周期是，频率是．

3. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，

      只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,例如。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

☆ 案例分析：

例1. 已知函数.

用“五点法”画出它的图象；求它的振幅、周期和初相；

说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.

例2.（1）将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函

数解析式是　(   ).

A.    B.     C.     D.

（2）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为

奇函数时，向量a可以等于（　）

A.           B.            C.             D.

    （3）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（　）

        A．        B.           C.               D.

例3. 如图，函数，，(其中)的图象与轴交于点.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求的夹角的余弦值．

参考答案:

基础热身：

1. 解：的对称轴方程为，即，

2. 答案：D

【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．

3. 解: 函数的图像关于点中心对称       

由此易得.故选C

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

例1.

例2. （1）答案:B

【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数

即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

,故选B.

（2）【答案】D   【解析】由平面向量平行规律可知，仅当时，

：=为奇函数，故选D.

(3) 【解析】：将的零点转化为函数的交点，数形结合可

        知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出

      了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题

例3. 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。满分14分。

解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.

（II）由函数及其图像，得

所以从而 ，

故.