湘教版必修23.3三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像和性质

【考点阐述】

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．

【考试要求】

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示．

【考题分类】

（一）选择题（共21题）

1.（安徽卷文8）函数图像的对称轴方程可能是（       ）

A．   B．  C．  D．

解：的对称轴方程为，即，

2.（广东卷文5）已知函数，则是（     ）

A、最小正周期为的奇函数          B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为的偶函数      D、最小正周期为的偶函数

【解析】,选D.

3.（海南宁夏卷理1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（    ）

A. 1   B. 2   C. 1/2   D. 1/3

解：由图象知函数的周期，所以

4.（海南宁夏卷文11）函数的最小值和最大值分别为（    ）

A. －3，1   B. －2，2  C. －3，   D. －2，

【标准答案】：Ｃ

【试题解析】：∵ 

∴当时，，当时，；故选Ｃ；

【高考考点】三角函数值域及二次函数值域

【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。

【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。

5.（湖南卷理6）函数在区间上的最大值是(      )

A.1    B.       C.          D.1+

【答案】C

【解析】由,

故选C.

6.（江西卷理6文10）函数在区间内的图象是

【解析】D.  函数

7.（江西卷文6）函数是

A．以为周期的偶函数              B．以为周期的奇函数

C．以为周期的偶函数              D．以为周期的奇函数

【解析】   

8.（全国Ⅰ卷理8）为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个长度单位       B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位          D．向右平移个长度单位

【解析】.A.  只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.

9.（全国Ⅰ卷文6）是（    ）

A．最小正周期为的偶函数     B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数      D．最小正周期为的奇函数

10.（全国Ⅰ卷文9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个长度单位      B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位          D．向右平移个长度单位

11.（全国Ⅱ卷理8）若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（    ）

A．1           B．        C．        D．2

【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，当，即时，得，，∴

【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离

【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题

12.（全国Ⅱ卷文10）函数的最大值为（    ）

A．1       B．           C．           D．2

【答案】B

【解析】，所以最大值是

【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题

【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题

13.（四川卷理10）设，其中，则是偶函数的充要条件是(   )

（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）

【解】：∵是偶函数

∴由函数图象特征可知必是的极值点，

    ∴    故选D

【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；

【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于轴对称的要求，分析出必是的极值点，从而；

14.（天津卷理3）设函数，则是

(A)   最小正周期为的奇函数            (B)   最小正周期为的偶函数  

(C)   最小正周期为的奇函数            (D)   最小正周期为的偶函数

解析：是周期为的偶函数，选B．

15.（天津卷理9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则

  (A)        (B)         (C)       (D)  

解析：，

因为，所以，所以，选A．

16.（天津卷文6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（    ）

A．       B．

C．       D．

解析：选C,

．

17.（天津卷文9）设，，，则（    ）

A．     B．     C．  D．

解析：，因为，所以，选D．

18.（浙江卷理5文7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是

（A）0           （B）1             （C）2          （D）4

解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：

 =作出原函数图像，

截取部分，其与直线的交点个数是2个.

19.（浙江卷文2）函数的最小正周期是

  （A）         （B）           （C）         （D）

解析：本小题主要考查正弦函数周期的求解。原函数可化为：，故其周期为

20.（重庆卷理10）函数f(x)=() 的值域是

（A）[-]  (B)[-1,0]     （C）[-]  （D）[-]

解：特殊值法， 则f(x)=淘汰A，

令得当时时所以矛盾淘汰C， D

21.（重庆卷文12）函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是

(A)[-]   (B)[-]        (C)[-]    (D)[-]

【答案】C

【解析】本小题主要考查函数值域的求法。令，则，当时，，当且仅当时取等号。同理可得当时，，综上可知的值域为，故选C。

（二）填空题（共8题）

1.（广东卷理12）已知函数，，则的最小正周期是          ．

【解析】,此时可得函数的最小正周期。

2.（江苏卷1）的最小正周期为，其中，则         。

【解析】本小题考查三角函数的周期公式.【答案】10

3.（辽宁卷理16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．

解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题且在区间有最小值,无最大值,∴区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，∴,取得答案：

4.（辽宁卷文16）设，则函数的最小值为           ．

解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。

      取的左半圆,作图(略)易知        答案：

5.（上海卷理6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是     

【答案】

【解析】由.

6.（上海春卷4）方程在区间内的解是                .

解析：原方程就是，所以

故在区间内的解是。

7．（四川延考理15）已知函数 在单调增加，在单调减少，则      。

解：由题意

又，令得。（如，则，与已知矛盾）

8．（四川延考文14）函数的最大值是____________．

解： 因为，，  ，正好时取等号。（另在时取最大值）

（三）解答题（共16题）

1.（安徽卷理17文17）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程

（Ⅱ）求函数在区间上的值域

解：（1）

由

函数图象的对称轴方程为

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以   当时，取最大值 1

又  ，当时，取最小值

所以 函数 在区间上的值域为

2.（北京卷理15文15）已知函数（）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

解：（Ⅰ）．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，所以，所以，

因此，即的取值范围为．

3.（广东卷理16文16）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．

（1）求的解析式；

（2）已知，且，，求的值．

【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；

（2）依题意有，而，，

。

4.（湖北卷理16）已知函数

（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；

（Ⅱ）求函数的值域.

解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）

 　＝

（Ⅱ）由得

在上为减函数，在上为增函数，

又（当），

即

故g(x)的值域为

5.（湖北卷文16）已知函数

  （Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；

  （Ⅱ）求函数上的最大值和最小值

解：(Ⅰ).

      故的周期为｛k∈Z且k≠0｝.

(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.

故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，

所以当x=π时，f(x)有最大值－2.

6.（湖南卷文17）已知函数.

（I）求函数的最小正周期；

（II）当且时，求的值。

解：由题设有．

（I）函数的最小正周期是

（II）由得即

     因为,所以

从而

于是

7.（江苏卷15）.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。

（1）          求的值；  

（2） 求的值。

【试题解析】先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，先求出的值，再根据范围确定角的值。

【标准答案】（1）由已知条件即三角函数的定义可知，

因故，从而

同理可得 ，因此.

所以=;

（2）,

从而由 得 .

8.（江西卷文17）已知，

（1）求的值；

（2）求函数的最大值．

解：（1）由得，           

于是=.          

（2）因为所以          

       的最大值为.      

9.（山东卷理17）已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解：（Ⅰ）

．

因为为偶函数，所以对，恒成立，

因此．

即，

整理得．

因为，且，所以．

又因为，故．所以．

由题意得，所以．故．

因此．

（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．

所以．

当（），

即（）时，单调递减，

因此的单调递减区间为（）．

10.（山东卷文17）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．

解：（Ⅰ）

．

因为为偶函数，所以对，恒成立，

因此．

即，

整理得．因为，且，所以．

又因为，故．所以．

由题意得，所以．故．因此．

（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，

所以．

当（），

即（）时，单调递减，

因此的单调递减区间为（）．

11.（陕西卷理17）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

12.（陕西卷文17）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．函数是偶函数．

13.（上海卷文18）已知函数f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x+)，直线x＝t（t∈R）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点

⑴当t＝时，求|MN|的值

⑵求|MN|在t∈[0,]时的最大值

【解】（1）…………….2分

                  ………………………………5分

         （2）……...8分

                   …………………………….11分

              ∵   …………13分

             ∴ ｜MN｜的最大值为.            ……………15分

14.（四川卷理17文17）求函数的最大值与最小值。【解】：

由于函数在中的最大值为

最小值为

故当时取得最大值，当时取得最小值

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，复合函数中间变量的范围是关键；

15.（天津卷理17）已知.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

解：（Ⅰ）因为，所以，于是

（Ⅱ）因为，故

所以

16.（天津卷文17）已知函数的最小正周期是．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．