高中数学：1.5.2《二项式系数的性质》（二） 教案 （北师大选修2-3）

1.5.2二项式系数的性质

教学目标：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用

  教学重点：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用

    教学过程

一、复习引入：

1．二项式定理

，

2．二项展开式的通项公式：

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

（2）增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减情况由决定，，

当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

三、例子

例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式中，令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知.

例2．已知，求：

（1）；   （2）；  （3）.

解：（1）当时，，展开式右边为

∴，

当时，，∴，

（2）令，       ① 

令，     ②

①② 得：，∴ .

（3）由展开式知：均为负，均为正，

∴由（2）中①+② 得：，

∴ ，

∴

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数

解：

=，

∴原式中实为这分子中的，则所求系数为

例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

解：∵

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，

在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 

∴展开式中含x的项为 ，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意

   ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质

课堂练习：

课后作业：