2012-2013高二北师大数学选修2-2：2.2.2导数的几何意义教学设计

第二章 变化率与导数

2.2.2 导数的几何意义

一、教学目标：

1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；

2、理解曲线在一点的切线的概念；

3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义

教学难点：求简单函数在某点出的切线方程

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程

复 习 回 顾

1.平均变化率

2.瞬时变化率

3.导数的定义

4.点斜式直线方程：

y-y0=k(x-x0)

曲线的切线

y=f(x) y0=f(x0)， y1=f(x1)

当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)

自变量的增量△x= x1- x0

函数值的增量△y= f(x1) - f(x0)

Q(x0+ △x,y0+ △y)

△y=f(x0+ △x)-f(x0)

曲线在某一点处的切线的定义

设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0) 及邻近一点(x0+△x,y0+△y)

过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时,   如果割线PQ有一个极

限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

曲线在某一点处的切线的斜率公式

设割线PQ的倾斜角为β，切线PT的倾斜角为α

tanβ=当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P

处的切线的斜率，即

tan α=

切线斜率

求曲线L：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。割线 MN 的斜率为： 

割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线

切线 MT 的斜率为：

说明：

（1）割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.

（2）曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点.

（3）这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

（4）若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f'(x0)不存在，就是切线与y轴平行.

导数的几何意义

函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就  

是曲线 y = f(x) 在点 M(x0,  y0) 处的切线的斜率，即：

由直线的点斜式方程可知，曲线 y = f(x) 在点 M(x0,  y0) 处的切线方程与法线方程分别为：

当时，切线方程,

当时，切线方程为 或.

例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.

求函数图象切线需要注意的问题（1）已知切点(x0, f(x0))，求切线：

①求切线的斜率:k=f'(x0)；

②确定切点(x0,f(x0))；

③写切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

（2）已知切线过点(a，b)，求切线方程

点(a，b)可以在曲线上，也可以不再曲线上

A、设切点(x0，f(x0))；

B、求斜率k=f'(x0)；

C、写切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)；

D、代入已知点(a,b)，列方程组求得x0； 

E、代入求得切线方程.

例4.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.

解：如图各处的切线，我们用此来刻画此三个时刻附近的变化情况

(1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴

∴在t=t0附近曲线h(t)比较平坦，几乎没有升降.

(2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0，

∴在t=t1附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.

(3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0，

∴在t=t2附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递减.

由图形可知，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降缓慢.

解：在点P处的切线方程是     

        12x-3y-16=0

小结:

求切线方程的步骤：

无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。