初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册1 探索勾股定理教案设计

《探索勾股定理》教学设计

一、教材分析

《探索勾股定理》是鲁教版初中数学七年级上册第三章第一节的内容。勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。

二、课标解读

初中数学课程标准中对“勾股定理”部分提出来如下要求：

在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念.

②在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力.

③经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性.

④探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

    依据对课标、教材及学生的认知特点，确定本节的教学目标如下：

1.经历探索、验证勾股定理的过程，体验勾股定理的探索方法中蕴含的数学思想方法，丰富数学活动经验，进一步发展推理能力.

2.能说出勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决直角三角形的三边关系问题.

   3.观赏数学史上对勾股定理的不同证明方法，感受勾股定理的文化价值以及数学家的伟大成就、锲而不舍的钻研精神。

三、学情分析

从学生的认知水平看，因为勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，学生对三边之间的二次方关系的研究还是很陌生的。而学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。所以，本节课显得尤为重要。

   从学生的身心特点看，初二学生的逻辑思维还是比较薄弱的，通过形象直观的图形去感受发现新知识，教学中还是要从具体的实例入手。但另一方面他们比较喜欢探索，求知欲强，容易接受新事物，这是探究新知识的益处。

（一）教法设计

数学教学强调要让学生亲身经历探究新知的活动过程，在探究过程中进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力和分析问题、解决问题的能力。这正是新课程标准的理念。

尤其是初二学生还是比较喜欢探索，因此我在课堂上给予他们足够的时间与空间，引发认知冲突，激发他们自己去发现、去创造。基于这一点，本节课我采用：自主探究、启发思考、小组合作的教学方法。

（二）学法指导

结合初二学生的特点，我让学生自己通过观察、类比、猜想、验证等活动归纳出数学知识，实行小组合作探究，渗透“类比、由特殊到一般、转化”的数学思想。

（三）教学重点与难点

教学重点：探索、验证勾股定理

【设计意图】我把探索、验证勾股定理作为学生学习的重点，因为对勾股定理的探索，能够让学生在经历定理的探究过程中进一步丰富数学活动经验，发展学生的推理能力和分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值以及古今中外数学家的伟大成就和钻研精神，培养学习数学的兴趣、激发学生的求知欲和创新精神。

教学难点：探索发现勾股定理的结论

【设计意图】根据学生的认知经验，直接探索直角三角形三边之间的关系，学生一般多思考三边之间的一次关系，而较难想到三边之间的平方关系。对于多数学生而言，可能陷入较长时间的困惑，没有教师的指引可能最终都不能走到正确的探索道路上来。因此，我把探索发现勾股定理的结论作为本节课的难点。

   四、评价设计

  1．通过探究活动一、二、四检测目标1的达成；

  2．通过探究活动三、五检测目标2的达成；

  3．通过拓展与欣赏环节检测学生对目标3 的达成

五、教学过程

  （一）温故知新

对于直角三角形，你已经学过哪些知识？        

1．两锐角之间的关系：               

2．边角关系：                      

 3．如图，强大的台风使得一根竹竿在离地面3m处折断倒下，竹竿顶部落在离竹竿底部4m处．竹竿折断之前有多高？

【设计意图】

这个问题情境的引入，旨在引起认知的冲突——用已有知识无法解决，引入研究的必要性——已知直角三角形的两边，如何求第三边的问题，自然而然地激发起学生的求知欲。

（二）探究新知——直角三角形的三边关系

研究方法：特殊到一般

探究活动一：

1．  等腰直角△ABC，∠C=90°，a=1，b=1，写出关于c的式子？

【设计意图】

    从最特殊的三角形——等腰直角三角形入手研究，遵循“由特殊到一般”的数学研究基本思路与方法。

【问题应对】

    预计学生对这个问题很难找到入手之处去解决，教师设计起点低的几个问题：根据已知条件，你可以获得关于△ABC的哪些信息？学生自然会想到“面积”，而直角三角形的面积有两种计算方法，即AC·BC=AB·h，由等腰三角形的三线合一推出h=AB，结合这两种方法即可表示出斜边c的式子，c2=2。

2．类比1题的方法探究：等腰直角△ABC，∠C=90°，a=2，b=2，写出关于c的式子？

【设计意图】

此题既是对第1题的巩固应用，也可以让学生体会“变化中的不变”思想（只是数值变而解题的思路方法不变），同时由1、2两题可以体验“类比”思想在解题中的灵活运用。

3．Rt△ABC，a=1，b=2，写出关于c的式子？

【设计意图】

1、2两题是特殊图形，而第3题则是一般图形，体现了由特殊到一般的探究思路。那么在1、2题中所运用的知识与解题方法能否解决第3题？此处为后面的探究活动埋下伏笔。

由于第3题中“等腰三角形”的条件消失，“三线合一”定理无法运用，导致无法求出斜边上的高，因此无法类比“面积法”解决这个问题。设计这个活动，目的在于再次引出认知上的矛盾，激发学生急于重新寻找解决问题的新方法。

【问题应对】

反思：题1、2有什么相同之处？题3与1、2有什么不同之处？

点拨：c2=2与c2=8，由c2可以联想到什么？

     从代数的角度，可以想到乘法运算c2=c·c，“数”

     从几何图形的角度，可以想到c2是边长为c的正方形的面积。

因此，接下来我们可以尝试用构建“正方形”的基本构图，仍然利用“面积”来探究。

探究活动二：

借助网格验证活动一中的1、2两题的结论，仍然遵循从特殊到一般的思路。

1．验证下图中以c为边长的正方形的面积为2（见大屏幕）

2．验证下图中以c为边长的正方形的面积为8

【设计意图】

既是为了解决探究活动一的第3个问题，同时让学生学会用“割补法”解决图形的面积问题，特别是在网格中充分运用小正方形和直角三角形等基本构图灵活解决有关面积问题。

【问题应对】

学生可能比较习惯“割”的方法，忽略“补”的思路，课堂上放手给学生自主思考，通过展示交流开阔思路。对于学生的各种方法（比如数格子的方法），教师会鼓励他们进行表达和交流。当然，方法应来源于学生的实际，不要为了所谓方法的多样性而向学生提供更多的方法。

3．类比前面的解题思路，求出下图中以c为边长的正方形的面积（a=1，b=2）？

【设计意图】

由特殊（等腰直角三角形）到一般（任意直角三角形），继续用“割补法”解决图形的面积问题，寻找直角三角形三边之间的关系式。

【问题应对】

此题用“割”的方法——将斜边上的正方形分割为边长为整数的直角三角形可能有部分学生会遇到困难，教学中可以采取小组合作、互相交流的方式帮助学生找到解决方法。同时，对比分析“割”与“补”的思路方法的优劣。

4．类比3题的思路方法，探究a=3，b=4时，关于c的式子？

【设计意图】

此题作为一道即时评价检测题，反馈学生是否真正学会用“割补法”探索直角三角形的三边关系问题，同时为下一环节的探索提供素材。

探究活动三：

1.将探究活动二中的4个图形的相关数据填在下表中

总结归纳：根据表格探索a、b、c之间的关系为                          

用文字表述：                                                       

几何语言：∵                                  

          ∴                                     

注：勾——较短直角边，股——较长直角边，弦——斜边

【设计意图】

通过具体实例找规律，探究直角三角形的三边关系，符合学生的认知规律。

勾股定理的语言叙述，先让学生自己归纳，然后再自学课本，了解相关名称。

2.几何画板的演示（特殊——一般）

——任意直角三角形中，两条直角边的平方和都等于斜边的平方。

【设计意图】

几何画板的演示，验证了在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，同时再次体现了由特殊到一般的数学思想。

探究活动四： 推理验证勾股定理

【设计意图】

任何一个数学结论要想作为解题的依据，必须经过严谨的推理证明。这一环节的设计意图亦在于此。

【问题应对】

学生可能会产生的问题，一是“割”图中，中间的小正方形的边长不会表示，这时教师可加以引导——4个直角三角形是全等的；二是展示图形面积之间的数量关系式时，出现完全平方公式，有部分学生可能会出现错误，课堂上要关注并及时给予矫正。

探究活动五：                                 

首先，解决 一、中的大树问题

【设计意图】首尾呼应，让学生体验到数学来源于生活又服务于生活。）

即时检测

1．Rt△ABC中，∠C=90°，                            

①AC=2，BC=3，则AB2=     

②AC=2，AB=3，则BC 2=                 

                                          第1题图               

【设计意图】

这是对勾股定理直接运用的即时检测，通过练习让学生知道“在直角三角形中，已知任意两边，即可求出第三边的平方”。

2．Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则AB2=      

【设计意图】

此题需要分类讨论，是对勾股定理的灵活运用。一方面供学有余力的学生研究，体现分层教学；另一方面，也是对全体学生渗透“分情况讨论”的思想方法，同时意识到数学学习中严谨的治学态度的重要性。

三、盘点收获

知识：                                          

方法：                                            

四、拓展与欣赏

中国的“青朱出入图”、古印度的“无字证明”、毕达哥拉斯的方法、美国总统Carfield的梯形方法、意大利著名画家达·芬奇的方法。

【设计意图】

播放视频，展示古今中外对勾股定理的不同研究方法，感受数学家的伟大成就与其锲而不舍的钻研创新精神，激励学生严谨治学、勇于挑战、敢于创新，这也是数学学习中需要具备的品质。