浙教版九年级上册1.1 二次函数教学设计

1.1二次函数 教案

一、教学目标：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：理解二次函数的概念。

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

学习方法：类比、建模

二、教学过程

（一）创设情境，导入新课

复习：1、汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式。

提问：用到了什么函数，图像又是怎样的？

导入：观看下面几张图。

舟山跨海大桥是世界上规模最大的岛陆联络工程，获得过多项世界之最，它们用到的图像形状是我们学过的函数图像吗？工程师们又是如何去计算这些数据的？

那么这些问题都可以通过学习二次函数建立数学模型来解决，今天我们开始学习“二次函数”！

（二）合作学习，探究新知

问题1：请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系。

(1)圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x (cm)。

(2)矩形周长为30(m)，设其长为x(m)，矩形面积为y(m2)。

(3)某工厂1月份的产值为20万元，平均每月产值的增长率为x，该工厂第一季度的产值y（万元）。

教师组织合作学习活动：

1、先个体探究，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、请学生写出三个问题的函数解析式并进行化简。

问题2：上述三个函数解析式具有哪些共同的特征？让学生充分发表意见，提出各自的看法。

特征：(1)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；

  (2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；

  (3)a,b,c为常数，且a≠0；

类比一次函数归纳二次函数定义：

一般地，形如的函数叫做x的二次函数。 称a是二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

清楚说明a，b，c的位置关系，并依次说出上述三个解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。

练一练

1、判断下列函数中，哪些是二次函数？

2、你能举一个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子吗？

(1)二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项为0。

(2)二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值。

3、以同桌为小组，互相出题写下两个表达式，判断是否是二次函数，如果是，请分别说出二次项系数，一次项系数和常数项。

二次函数的特殊形式：               （强调x为任何实数）

当b＝0时， y＝ax2＋c

当c＝0时， y＝ax2＋bx

当b＝0，c＝0时， y＝ax2

（三）例题解析，掌握规律

会建立简单的二次函数的模型，能根据实际问题确定自变量的取值范围，并能根据自变量求对应的函数值。

例1：如图，一张正方形纸板的边长为（cm），将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

(1)y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。

教师组织合作学习活动：

1、学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式。

2、对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积的4倍。

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再有勾股定理求出EH2。

3、对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

4、会根据不同的自变量，求对应的函数值。

练习1：已知一隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m，求：

(1)隧道截面的面试S(m2)与截面上部半圆的半径r(m)之间的函数表达式。

(2)当r=2m时，隧道截面的面积(精确到0.1m2)。

会用待定系数法求二次函数的解析式。

例2：已知二次函数              ，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的表达式。

用待定系数法解决，并说明一元二次方程和二次函数的关系（方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.）

练习2：已知二次函数             ，当x=1,时，y=0，当x=2时，y=4，求二次函数的解析式。

挑战提高

1、函数                          ，当a，b，c满足什么条件时：  

(1)它是二次函数？

(2)它是一次函数？

(3)它是正比例函数？

2、关于x的函数

(1)当m为何值时，是二次函数？

(2)当m为何值时，是一次函数？

3、当m为何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数表达式

(1)

(2)

（四）课堂小结，布置作业

一个定义（二次函数）；一个方法（待定系数法）；两个思想（类比、建模）。