九年级上册3.6 圆内接四边形教案

《等线构圆  优化解题》教学设计

一、课题设想：

圆的旋转不变性以及由此推出的圆心角、弦、弦心距、弧之间的转化，使得圆在解题中显示出很高的巧妙性和灵活性。由此思考，在什么样的条件下，我们可以通过辅助圆帮助解题。本课题围绕这一问题展开探究，最终归纳出构造辅助圆的本质特征（或一般规律）应该是有“共端点的等长线段”这一前提条件。但是这些等长线段往往又会因为位置关系产生很多特殊的图形，所以选取了几类常见特例，通过对比常规做法与添加辅助圆，帮助学生理解和感受圆在解题过程中的方便之处！

二、教学目标：

1、  知识技能：探索等腰三角形、直角三角形、矩形、正多边形等具体问题中蕴含的共性规律，能用“共端点的等长线段” 构造辅助圆，并能利用圆的基本性质解决问题.

2、  数学思考：体会通过合情推理探索并运用构造辅助圆的方法，在合作学习，交流分享等数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.

3、  问题解决：

（1）经历从不同角度寻求解决问题的方法，体验解决问题方法的多样性，并能根据“等线构圆”掌握分析和解决问题的基本方法.

（2）在合作交流中，能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.

4、  情感态度：在分享解题方法的过程中，鼓励学生积极参与、让学生感受成功并勇于发表自己的想法，把独立思考与合作学习有机结合起来.

三、教学重难点

重点：构造辅助圆并利用圆的基本性质解决问题.

难点：在不同图形中寻找出关键条件——“共端点的等长线段”构造辅助圆.

四、教学过程

（一）同场竞技、解法分享

第1题是为了初步了解学生的基本解题方法，学生会用正多边形的基本性质（内角相等、边相等）去解决问题，也可能有学生会用圆，对比计算量，可以发现利用圆的基本性质，大大优化了计算量。

第2题第（1）问通常学生还会用等腰三角形的性质来解题，只是解题过程中，计算的角度比较多，运算量很大。第（2）小问难度增加（角度用参数表示），学生要通过三个等腰三角形角之间的巧妙联系，表示出目标角难度加大。而这道题若引入“圆”，则角之间的关系明确，解题思路简洁，让学生体验到构造辅助圆为解题带来的便利之处。

接下来的变式练习，题干简单，但思维含量更高，不仅要分析点的位置情况对结论的影响，还要寻求更优的解题方法。通过AB=AC=AD，我们发现点B,D,C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，因此，我们把该图形放入圆中，通过圆心角、圆周角、弧三者之间的关系可以清楚的看到角度之间的联系和变化，使得问题很快可以得到解决。

分类讨论两种情况：

设计意图：初步了解学生的基本解题方法，问题设置由易到难更能让学生感受到不同方法之间的优缺点，凸显构造辅助圆给解题带来的便捷之处.

（二）小试牛刀、崭露头角

如图，已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在⊙O内作等边三角形ABC，D为⊙O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，连结AD，DC的延长线交⊙O于点E，求AE的长.

设计意图：这不仅给学生提供了一次新旧方法PK的机会，同时也是给新法亮相的机会。通过抓住主要条件构造辅助圆，使得问题的难点瞬间瓦解！

（三）合作探究、举一反三

如图，四边形ABCD是矩形，△ACE是以AC为斜边的直角三角形，连结BE，ED，求证：BE⊥ED.

设计意图：由等腰三角形转变到直角三角形，表面是图形发生变化，但是本质没有改变，即发生改变的是等长线段的位置，只要能抓住这个主要特征，解决问题也就变得简单了。

（四）动手实践、追根溯源

如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.

（1）求证：点E、G分别是AB、CD的中点.

（2）求证：四边形EFGH是矩形.

（3）若AB<AD,你能确定点H的位置吗？说说你的方法.

设计意图：动手实践发现矛盾，理性分析解决矛盾，数学的趣味性不仅仅是发现规律的存在性，更是寻找规律的整个探究过程、证明过程.这也是认识事物规律的普遍方法，创造了让学生学会学习的机会。

（五）类比归纳、小结升华

设计意图：通过类比归纳，让学生在掌握解题的一般方法的同时，掌握类比的数学思想，把知识从一个点拓展成一个面或者一个系列，为学生后续的学习做好铺垫.

六、融会贯通、挑战自我

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在线段AC上有一动点P（点P不与点C重合），以PC为直径作⊙O交PB于点Q，连结AQ，则AQ的最小值为_______

设计意图：给学有余力的学生提供平台，使学生充分认识到问题的本质，加深对本质的理解和运用，通过问题设置的难度来增强解决问题的能力.

五、课后反思

1、学生分享解题方法能充分展示学生的思维过程，促进学生的独立思考和内化，也为生生之间的相互学习提供了机会。另一方面，学生展示往往需要有足够的时间，教师通过课前让学生去准备，既给了学生充分的思考时间，也节约了课堂时间，保证了展示环节的开展.

2、“等线构圆”的难点是寻找“等线”，从常见的等腰三角形入手拓展到直角三角形、矩形、正多边形等，由简到难、逐步深入，但万变不离其宗，引导学生找出共性，抓住本质，就能解决一系列问题，提高学生解决问题的能力.

3、课堂思考、动手实践、交流分享还是会涉及到时间是否充裕的问题，所以课堂呈现的题目比较精简，动手操作除了提升数学课的趣味性，更多的是引发学生对现象背后原理、方法的思考。对于学有余力的学生而言“挑战自我”是一个很好的补充，需要教师课后持续关注.

六、听课有感

1.选材选题：本课的选题数量少，但却十分典型，从中考题揭示方法，逐步将多边形从等腰三角形变化到直角三角形、矩形，由易到难，由点到面，由几道题到一类题，学生逐渐掌握方法，学会如何解题。

2.教学设计：一道中考题可以给我们怎样的思考？本课从中考题入手，切口很小；但涉及到的数学方法和数学思考却很广。一题一小结的方式让学生经历了一级级爬楼梯的过程，到最后，由老师通过图形展示出一系列相关问题时，完成了由几道题到一类题的飞跃。

3.数学思维：在这节课上，陈老师不仅教会了同学们怎样用圆解题，还让学生领会到我在什么情况下可以想到用圆解题，可以说既“授之以鱼”，又“授之以渔”。等长线段、直角三角形、矩形、正多边形，从特殊到一般，这些图形在本节课中都与圆建立起了紧密的联系。将多边形问题转化为圆的专题式教学，让学生更具针对性地体会到了转化的数学思想。