初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形教案设计

浙教九上《3.6圆内接四边形》教学设计

一．教学内容解析

    本节课是浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》中的第六节，属于“图形与几何”领域。在经历了圆概念的形成、圆的性质、圆中量之间关系的学习后，对圆与多边形的关系进行的研究。在圆内接三角形及外接圆的基础上，本节课对圆内接四边形的定义及性质进行学习，同时也为后一节正多边形的学习做好铺垫。

二．教学目标设置

教学目标：①了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念；

      ②理解圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补；

      ③会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算；

      ④体会数学中的类比、转化的数学思想和思维方式。

教学重点：圆内接四边形的性质定理。

教学难点：性质定理探究的过程，以及例题教学时，牵涉定理较多。

三．学生学情分析

    在之前学生已经学习了直线形图形的许多性质，会借助于观察、实验、证明等手段去认识图形的性质。但是因为本节课是利用初二的学生进行初三内容的教学，仅仅额外进行了部分基本内容的补充，所以对圆内的知识掌握的不是非常熟练，本节课的学习对于他们来说是一个不小的挑战。

四．教学策略分析

    本节课利用插入了几何画板的多媒体课件，从圆、点、弦三个元素，分类复习了本节课涉及到的圆的相关知识；运用类比的方法，从复习中的圆内接三角形知识，引出圆内接四边形的学习。从组成四边形的边、角两个方面，引导学生对圆内接四边形的性质进行探索。从一般到特殊，利用圆内接四边形性质，研究部分圆内接特殊四边形。

五．教学过程

１．复习引入：通过圆、点、弦三个元素进行复习，引出圆内接四边形的定义。

（１）圆及圆上一点：复习点在圆上点到圆心的距离等于半径；

（２）圆及圆上两点：复习弧和弦；

（３）圆及圆上三点：复习圆周角及其与圆心角、与弧的关系；复习圆内接三角形及三角形的外接圆；

（４）圆及圆上四点：四点所得到的多边形会叫什么名字呢？引出课题——圆内接四边形。

【设计意图】  通过圆、点、弦三种元素，按照递增的方式分类，可以将本节课所涉及到的圆的相关知识进行复习，同时也为下一节正多边形知识的学习做好铺垫。

２．探究新知

（１）概念学习，性质探究

①定义：

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

例如：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。

②辨识：

四边形OABC是⊙O的内接四边形吗？

【设计意图】  这个辨识的环节，可以让学生抓住定义的核心条件——各顶点在同一个圆上，只有准确的辨识出圆内接四边形，才能更好地使用圆内接四边形性质定理解决问题。同时也让学生意识到圆内接四边形是四边形中一部分比较特殊的四边形。

③深入：

圆内接四边形ABCD的四条边、四个内角对于⊙O来说是什么图形？

圆内接四边形ABCD的四条边对⊙O来说是弦，四个内角是圆周角。

【设计意图】  这个深入的环节，引导让学生将圆内接四边形内角与弧（或圆心角）建立起关系，对于圆内接四边形性质的探索至关重要。

（２）探索性质

圆内接四边形由边角组成，所以可以从边和角两个方面探究圆内接四边形的性质。

利用特殊四边形学习的经验，对于四边形的边，我们可以研究哪些问题？

可以研究圆内接四边形各边有怎样的关系？周长是否发生变化？面积呢？

对于四边形的角，我们又可以研究哪些问题呢？

可以研究圆内接四边形各内角度数相等吗？两个角的和？所有角的和？

【设计意图】  引导学生从两个方面对圆内接四边形进行自主探究，并且明确可以研究的问题有哪些，有目的的进行探索。学生通过用刻度尺度量边长，度量角度，亦或通过画特殊四边形，去探索圆内接四边形可能具备的性质。

①　圆内接四边形边的探索

度量四边形各边的长度，以及周长及面积，发现圆内接四边形的边长、周长、面积是变化的。得到圆内接四边形边的方面并未存在特殊性质。

②　圆内接四边形角的探索

利用几何画板软件，通过圆内接四边形顶点的移动，观察圆内接四边形的角的变化。

ａ．圆内接四边形的一个内角

伴随着顶点的移动，圆内接四边形的各个内角角度发生着变化。

ｂ．圆内接四边形的两个内角和

利用特殊四边形角的研究经验，研究圆内接四边形中哪两个角的和呢？邻角的和变化吗？对角的和呢？

得出圆内接四边形的邻角和在不断的发生变化。

三个顶点位置的不断接近，使得一对对角中一个角越来越接近180°，而其对角接近0°，因此猜测出圆内接四边形的对角互补。

给出已知求证后通过将圆内接四边形内角（圆周角）转化为弧（或圆心角），进行证明，从而得到圆内接四边形的角的特殊结论——圆内接四边形对角互补。

ｃ．圆内接四边形的内角和

圆内接四边形的内角和为360°，是所有四边形所具备的性质，所以无需特别总结出来。

③  概括总结

通过对边、角的研究，发现圆内接四边形的角具备特殊性质，即圆内接四边形性质定理——圆内接四边形对角互补。

【设计意图】  对于圆内接四边形角的探索，是基于特殊四边形角的研究经验。通过分类讨论全面研究两个角和，转化圆周角问题为弧的问题，证明了圆内接四边形性质定理。

（３）巩固新知

第1题：已知圆内接四边形有一个内角是50°，求它的对角的度数.

第2题：已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=5:7:13，求∠D的度数.

第3题：求2题中∠A，∠B，∠C，∠D度数之比.

第4题：圆内接四边形ABCD的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能为3:1:2:5吗？

【设计意图】  利用圆内接四边形的性质，解决关于角度的计算问题。发现并解释圆内接四边形对角比份之和相等的，应用此结论对第4个问题进行判断，再次使学生感受圆内接四边形是一类特殊的四边形。

３.范例教学

例1  已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D.

求证：DB=DC.

（１）思考：  ①如何证明两条线段相等？

        　　　②如何证明∠DBC=∠DCB？

        　　　③∠DBC等于哪个角？

        　　　④∠DCB与哪个角有关系？为什么四边形ABCD是圆内接四边形？

       　　　 ⑤∠DCB与哪个角相等？

      　　　  ⑥∠DAE与∠DAC为什么相等？

（２）将学生的思路转化成板演书写。

（３）关注：利用圆内接四边形互补及邻补角的关系，得到∠DAE=∠DCB的论证环节。

            ①∠DAE是圆内接四边形的什么角？

            ②∠DCB与∠DAE的位置关系如何？

            ③得到的结论，用文字语言如何表述？

（４）得到圆内接四边形性质定理的推论：圆内接四边形的外角等于其内对角。

【设计意图】  巩固圆内接四边形性质定理，利用角的关系得到推论。引导学生发现性质定理的用途，即解决角的问题，借助角的关系，进一步可以研究线的关系。将对性质定理的应用，又深化了一个层次。

４.圆内接特殊四边形边的探索——特殊四边形之平行四边形

①圆内接平行四边形的探究

利用平行四边形、圆内接四边形的对角性质，分析圆内接平行四边形的形状是矩形。

②圆有内接矩形。那么任意画一个矩形，如何画出它的外接圆呢？如何确定圆心和半径呢？

根据圆内接四边形定义中各顶点在圆上，结合矩形对角线交点到各顶点距离相等的性质，分析出作法。以矩形对角线交点为圆心，以对角线的一半为半径作圆即可。

【设计意图】  在圆内，从边、角到特殊四边形的探究顺序，符合探究的层次的不断深入，同时也再次巩固了圆内接四边形的性质。从一般到特殊的研究方式，也让学生了解到四边形、圆内接四边形、圆内接特殊四边形三者的关系。

５.范例教学

例2　如果要把横截面直径为30㎝的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15ｍ，问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？

①根据题意画出示意图；

②分析截面为最大正方形的图形；

③分析锯法；

④计算截面圆内接正方形面积；

⑤分析体积的计算.

【设计意图】  深化圆内接特殊四边形的研究。经历上面的探究过程，降低了例2的思考难度.因为正方形是特殊的矩形，所以例题也巩固了画矩形外接圆的问题，同时也再次复习了特殊四边形面积的计算问题。

６.课内反馈

练习　已知：如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC于点D，E，连结DE. 求证：DE∥BC.

拓展  如图,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆O的直径,C是弧BD的中点,AB与DC

的延长线交于圆O外一点E.求证:BC=EC.

【设计意图】  从易到难，反馈圆内接四边形对角互补的性质，及其推论。

练习涉及等腰三角形性质，发现并运用圆内接四边形性质，以及平行线的判定等知识，用角的关系研究线的问题，考察学生转化、解决问题的能力；

拓展题涉及圆、等腰三角形判定等较多知识，有多种方法解决，可以提升学生解决问题的综合能力，鼓励进行课后思考。

７.收获小结

本节课学习了关于圆内接四边形的哪些知识？

定义，性质，探索了圆内接特殊四边形。

８．课后作业

初中数学作业本3.6

９．板书设计