高中数学：2.2.6《导数的几何意义2》教案（北师大版选修2-2）

第六课时     导数的几何意义（二）

一、教学目标：掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法．

二、教学重点、难点：

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；

（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、问题情境

1．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定的直线．

2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？

（二）、学生活动

如上图直线为经过曲线上一点的两条直线．

（1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线．

（2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线

的直线吗？

（3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？

（三）、建构数学 

1．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，

设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为

．

2． 切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；

3． 切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．

（四）、数学运用

1．例题：

例1．已知曲线，

   （1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．

   （2）求曲线在处的切线斜率。

分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。

解：（1）在曲线上点附近的取一点，设点的横坐标为，

则函数的增量为，

∴割线的斜率为，

∴当无限趋近于时，无限趋近于常数2，

∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为，

∴所求切线方程是，即．

   （2）设，，则割线的斜率为

当无限趋近于时，无限趋近于常数4，从而曲线在点处切线的斜率为。

例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．

分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手．

解：设，，则割线的斜率：

．

当无限趋近于时，无限趋近于常数1，∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为．

例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．

解：设是点附近的一点，

．

当无限趋近于时，无限趋近于常数1，∴曲线在点处有切线，且切线的斜率为．所求直线方程：．

2．练习：练习 第 1，2，3题；习题2-2A组中 第 3题．

（五）．回顾小结：求切线斜率一般步骤是：①求函数增量与自变量增量的比；②判断当无限趋近于时，是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．

（六）．课外作业：1、补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程．           2、习题2-2中B组 1、2

五、教后反思：