高中数学：2.5《函数的最大值与最小值1》教案（北师大版选修2-2）

§2     导数在实际问题中的应

第五课时  函数的最大值与最小值（一）

一、教学目标：

1、知识与技能：会求函数的最大值与最小值。

2、过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数最大值与最小值的求法     

教学难点：函数最大值与最小值的求法

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程：

（一）、复习引入

1、极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

2、极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

3、极大值与极小值统称为极值注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．

（二）、探究新课

1、函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．

结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．

说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

2、“最值”与“极值”的区别和联系

⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3、利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

（三）、例题探析

例1、求函数在区间上的最大值与最小值

解：先求导数，得

令＝0即解得

导数的正负以及，如下表

从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4

例2、已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.

解：设g(x)=    ∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数

∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.

∴    ∴   解得 经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。

（四）、课堂练习：1．下列说法正确的是(    )

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值         D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) (   )

A.等于0   B.大于0    C.小于0   D.以上都有可能

3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为(    )

A.0    B.－2    C.－1  D.

4.函数y=的最大值为(    )。A.  B.1       C.  D.

5.设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是(    )

A.27    B.－3         C.－1    D.1

6.设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则(    )

A.a=2,b=29  B.a=2,b=3    C.a=3,b=2     D.a=－2,b=－3

（五）、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。

（六）、作业布置：课本P69页习题3-2A组2、4

五、教学反思：