高中数学：2.6《函数的最大值与最小值2》教案（北师大版选修2-2）

第六课时   函数的最大值与最小值（二）

一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.

二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.

教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习引入

1．函数y = x·e–x在x∈[0, 4]的最小值为（ A   ）

A．0     B．    C．    D．

2．给出下面四个命题.

①函数y = x2 – 5x + 4 (x∈[–1，3])的最大值为10，最小值为；

②函数y = 2x2 – 4x + 1 (x∈(2, 4))的最大值为17，最小值为1；

③函数y = x3 – 12x (x∈(–3, 3))的最大值为16，最小值为– 16；

④函数y = x3 – 12x (x∈(–2, 2))无最大值，也无最小值.

其中正确的命题有（  C  ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

（二）、利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

（三）典例探析

例1、求函数的最大值与最小值。

解析：

列表：

∴，，

，

练习：求函数的最大值与最小值。

例2、已知函数，（I）求函数在上的最大值和最小值.（II）过点作曲线的切线，求此切线的方程.

解析：（I），     当或时，，

为函数的单调增区间  当时，，

为函数的单调减区间        

又因为，

所以当时，           当时，         

（II）设切点为，则所求切线方程为     

由于切线过点，，

解得或     所以切线方程为即

或          

练习：已知函数。若f（x）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a、b的值

例3、已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围。

解：(Ⅰ)由原式得

           ∴                          

(Ⅱ)由 得,此时有.

由得或x=-1 , 又

所以f(x)在[--2,2]上的最大值为最小值为         

(Ⅲ)的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得

  即  ∴--2≤a≤2. 所以a的取值范围为[--2,2].                     

（四）、课堂小结：1、函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

2、函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

3、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值  

4、利用导数求函数的最值方法．

（五）课后作业：练习册P41中2、4、5、7

五、教学反思：