《微积分基本定理》教案1（北师大版选修2-2）

微积分基本定理

[教学目的]使学生了解积分上限函数的概念，理解微积分基本定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式与积分上限函数的求导方法．

[重点与难点]重点是微积分基本定理与牛顿—莱布尼兹公式，难点是微积分基本定理的证明．

[教学过程]

前面介绍了积分的概念，从理论上讲，总可通过和式的极限来确定积分的值，但实际运算起来是很繁琐的，有时甚至无法计算。本节通过揭示积分与导数的关系，将引出计算积分的一个简便而可行的计算公式——牛顿—莱布尼兹公式.

为了解决这个问题，我们先来介绍积分上限函数的概念及其性质

一、积分上限函数及其导数

⒈  积分上限函数的概念

设函数在上连续，为上的一点，不难得知，在部分区间上的积分存在，这里，既表示积分的上限又表示积分变量，为明确起见，把积分变量改用另一字母表示，从而该积分可表为.

显然，对于上的任一取值，积分都有唯一确定的值与之对应，因此，在区间上确定了一个以积分上限为自变量的函数，称之为积分上限函数，通常记为，即 

⒉ 积分上限函数的性质

积分上限函数具有如下的重要性质

定理1（微积分基本定理）如果函数在上连续，则积分上限的函数

在上可导，且

证明  当时，若自变量在处取得增量且，函数相应的增量为

（积分中值定理）

其中，介于与之间。于是，

当或时，同理可证得：，    证毕

这个定理的重要意义在于：

⑴肯定了连续函数的原函数必存在；

⑵初步揭示了积分与导数的关系,从而预示有可能通过原函数来求得积分；

⑶给出了积分上限函数的导数公式,并由复合函数的求导法则可推得

例1  求极限.

解：易知该极限为型未定式，故由洛必达法则得

例2  求下列函数的导数：

⑴           ⑵

解：⑴

⑵；因为

所以，

.

例3  设是内的正值连续函数，证明函数

在内是单调增加的.

证  因为

当时，在上，，，且，故知

，从而推得在内是单调增加的.

二、牛顿—莱布尼兹公式

定理2  如果函数是连续函数在的一个原函数，那么

证  因为在上连续，所以，为的一个原函数，又是的原函数，因此，

当时，，又得

当时，有即整理即得

     证毕

注：⑴ 上式叫牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式.

⑵ 在运用该公式时，通常记为或；

⑶ 该公式对于时也适用；

公式表明：一个连续函数在某一区间上的积分等于它的任何一个原函数在该区间上的增量.这就为积分的计算提供了一个简便而有效的方法.

例4  求.

解：因为

所以，

例5  求.

解：因为，

所以，

由上可知，利用牛顿—莱布尼兹公式求积分一般分两步完成，运算熟练后，可合并表示.

例6  求.

解：

例7  求.

解：因为，

所以，

例8  设，求在内的表达式.

解：当时，

当时，

当时，

所以，

习题3.2

1．求由参数表示式，所确定的函数对的导数．

２．求下列极限：

⑴　　　　　　　　　　　　⑵

３．计算下列各函数的导数：

⑴　　　　　　　⑵

4．计算下列各积分：

⑴　　　　　　　　　　　⑵

⑶                        ⑷

⑸                          ⑹

⑺　　　　　　　　　　　　　 ⑻

⑼,其中, ．

5．设，求在的表达式．

６．求函数的极值．

７．设函数在上连续，在内可导且，试证明：在内有．