数学同步训练 湘教版必修5：11．1　《算法的概念》

1．对算法的描述有：①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上对算法的描述正确的有(　　)

A．1个　　　　　　　　 B．2个

C．3个   D．4个

解析：选D.由算法的概念可知①②③④都正确，因而选D.

2．下列语句表达中是算法的有(　　)

①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；

②利用公式S＝ah计算底为1，高为2的三角形的面积；

③x>2x＋4；　④求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．

A．①②③　　　　　　　　 B．①③④

C．①②④   D．②③④

解析：选C.算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都表达了一种算法．

3．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法(　　)

A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播

B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面，第四步，吃饭．第五步，听广播

C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播

D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶

解析：选C.因为A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D选项的算法步骤不符合常理．

4．已知A(－1,0)，B(3,2)，下面是求直线AB的方程的一个算法，请将其补充完整：

S1：___________________________________________________________________.

S2：用点斜式写出直线AB的方程y－0＝[x－(－1)]．

S3：将第二步的方程化简，得到方程x－2y＋1＝0.

解析：点斜式是由定点和斜率两个条件求的方程，由两点可以求斜率．

答案：求出直线AB的斜率k＝＝

一、选择题

1．下列四种叙述，能称为算法的是(　　)

A．在家里一般是爸爸做饭

B．做饭需要刷锅、淘米、加水、加热这些步骤

C．在野外做饭叫野炊

D．做饭必须有米

解析：选B.算法是用于解决某一类问题的步骤，它具有一定的规则，并且每一步都是明确的．故只有B项可以称为算法．

2．计算下列各式的S值，能设计算法求解的是(　　)

①S＝1＋2＋3＋…＋100；

②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；

③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1且n∈N)．

A．①②　　　　　　　　　 B．①③

C．②③   D．①②③

解析：选B.由算法的有限性可知，②不能设计算法．

3．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是(　　)

A．只能设计一种算法

B．可以设计两种算法

C．不能设计算法

D．不能根据解题过程设计算法

解析：选B.可分别用求根公式与因式分解设计算法．

4．解决某个问题的算法如下：

S1：给定一个实数n(n≥2)．

S2：判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．

S3：依次从2到n－1检验能不能整除n，若都不能整除n，则n满足条件．

则满足上述条件的实数n是(　　)

A．质数   B．奇数

C．偶数   D．约数

解析：选A.首先要理解质数，除1和它本身外没有其他约数的正整数叫做质数，2是最小的质数，这个算法通过对2到n－1验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．

5．结合下面的算法：

S1：输入x；

S2：判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步；

S3：输出x－1.

当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为(　　)

A．－1,0,1   B．－1,1,0

C．1，－1,0   D．0，－1,1

解析：选C.根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．

6．给出下面的算法，该算法表示(　　)

S1：m＝a；

S2：若b<m，则m＝b；

S3：若c<m，则m＝c；

S4：若d<m，则m＝d；

S5：输出m.

A．求出a，b，c，d中最大值

B．求出a，b，c，d中最小值

C．将a，b，c，d由小到大排序

D．将a，b，c，d由大到小排序

解析：选B.这是一给出算法描述，让我们理解其表达的意义的问题．关键是读懂算法中每一步的含义．可以看作算法中一直将m与b，c，d作比较，并且总把最小的记为m，所以该算法表示的是找出a，b，c，d中最小值．

二、填空题

7．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：

S1：取A＝89，B＝96，C＝99；

S2：________________；

S3：________________；

S4：输出计算的结果．

解析：因为该算法的功能是求它的总分和平均分，所以“第二步”应为计算总分D＝A＋B＋C，“第三步”应为计算平均分．

答案：计算总分D＝A＋B＋C　计算平均分E＝

8．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：

S1：求1×3得结果3；

S2：将S1所得结果3乘以5，得到结果15；

S3：__________________________________；

S4：再将S3所得结果105乘以9，得到结果945；

S5：再将S4所得结果945乘以11，得到结果10395，即为最后结果．

解析：依据算法功能可知，S3应为“再将S2所得结果15乘以7，得到结果105”．

答案：再将S2所得结果15乘以7，得到结果105

9．下列所给问题中：

①解方程组；

②求半径为2的球的体积；

③判断y＝x2在R上具有单调性．其中可以设计一个算法求解的是________(填上你认为正确的序号)．

解析：③中的函数y＝x2是偶函数，故该函数在定义域R上不是单调函数，并不具备单调性，因此不能设计算法．

答案：①②

三、解答题

10．给出解方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为实数)的一个算法．

解：算法步骤如下：S1：当a＝0，b＝0，c＝0时，解集为全体实数；

S2：当a＝0，b＝0，c≠0时，原方程无实数解．

S3：当a＝0，b≠0时，原方程的解为x＝－；

S4：当a≠0且b2－4ac>0时，方程有两个不等实根

x1＝，x2＝；

S5：当a≠0且b2－4ac＝0时，方程有两个相等实根x1＝x2＝－；

S6：当a≠0且b2－4ac<0时，方程没有实数根．

11．某人带着一只猎狗、一只羊羔及一捆青菜过河，只有一条船，此船仅可载此人和猎狗、此人和羊羔或者此人和青菜．且没有人在的时候，猎狗会咬羊羔，羊羔会吃青菜，这个人想了一会儿还是安全地过了河，请设计此人过河的一个算法．

解：此人采取的过河的算法可以是：

S1：人带羊羔过河．

S2：人自己返回．

S3：人带青菜过河．

S4：人带羊羔返回．

S5：人带猎狗过河．

S6：人自己返回．

S7：人带羊羔过河．

12．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝60°，试设计一个算法求动点P的轨迹方程．

解：连结OA、OB(如图所示)，

由题知OP平分∠APB，OA⊥AP，∠APO＝30°.在Rt△APO中，OP＝2OA＝2×1＝2.∴点P是以点O为圆心，以2为半径的圆上的点，从而点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.

算法步骤如下：

S1：说明OA⊥AP；

S2：说明∠OPA＝30°；

S3：应用直角三角形性质，得OP＝2OA＝2；

S4：说明点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆；

S5：输出点P的轨迹方程x2＋y2＝4.