高中3.5 圆锥曲线的应用课后练习题

这是一份高中3.5 圆锥曲线的应用课后练习题，共3页。


1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．3
解析：选B.eq \x\t(v)＝eq \f(3＋2.12－3＋22,2.1－2)＝4.1.
2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B.Δs＝3(3＋d)2－3×32＝18d＋3d2，
∴eq \f(Δs,d)＝18＋3d.
当d趋于0时，eq \f(Δs,d)趋于18，故选B.
3．曲线y＝－eq \f(1,x)在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
解析：选A.k(1，d)＝eq \f(－\f(1,1＋d)＋\f(1,1),d)＝eq \f(1,1＋d).
∵当d趋于0时，k(1，d)趋于1，
∴y＝－eq \f(1,x)在(1，－1)处的切线斜率为1.
∴切线方程y＋1＝x－1，即y＝x－2.
4．某汽车启动阶段的位移函数为s(t)＝2t3－5t2(s的单位是米)，则t＝2秒时，汽车的瞬时速度是________．
解析：∵Δs＝s(2＋d)－s(2)＝2d3＋7d2＋4d，
∴eq \f(Δs,d)＝2d2＋7d＋4.
当d趋于0时，eq \f(Δs,d)＝4(米/秒)．
答案：4米/秒
一、选择题
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
解析：选D.平均速度即为s＝5－3t2在[1,1＋Δt]上的平均变化率，即eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq \f(5－31＋Δt2－5－3×12,Δt)
＝－3Δt－6.
2．已知，一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选B.∵Δs＝s(t＋d)－s(t)
＝3(2＋d)－(2＋d)2－3×3＋22
＝3d－4d－d2＝－d－d2，
∴eq \f(Δs,d)＝eq \f(－d－d2,d)＝－1－d.
∴当d→0时，瞬时速度v＝－1，
∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
3．某质点沿曲线运动的方程y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该点从x＝1到x＝2时的平均速度为( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
解析：选D.令f(x)＝y＝－2x2＋1，
则质点从x＝1到x＝2时的平均速度eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f2－f1,2－1)＝eq \f(－2×22＋1－－2×12＋1,2－1)＝－6.
4．曲线y＝2x2在点(2,8)处的切线斜率为( )
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：选C.eq \f(Δy,d)＝eq \f(22＋d2－2×22,d)＝eq \f(8d＋2d2,d)＝8＋2d.
∵当d趋于0时，eq \f(Δy,d)趋于8，
∴y＝2x2在点(2,8)处的切线斜率为8.
5．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
解析：选B.Δs＝－4(t＋d)2＋16(t＋d)－(－4t2＋16t)
＝16d－8td－4d2.
又因为某时刻的瞬时速度为零．
所以当d趋于0时eq \f(Δs,d)＝16－8t＝0，解得t＝2.
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A.eq \f(Δy,d)＝eq \f(0＋d2＋a0＋d＋b－02＋a×0＋b,d)
＝eq \f(d2＋ad,d)＝d＋a.
∵当d趋于0时，eq \f(Δy,d)趋于a，
∴曲线在(0，b)处的切线斜率为a.
又因为曲线在(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1,0－b＋1＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝1)).
二、填空题
7．已知s＝eq \f(1,2)gt2，t从3秒到3.1秒的平均速度是________．
解析：eq \x\t(v)＝eq \f(\f(1,2)g×3.12－\f(1,2)g×32,0.1)＝3.05g.
答案：3.05g
8．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：eq \f(Δs,d)＝eq \f(7t0＋d2＋8－7t\\al(2,0)＋8,d)＝7d＋14t0.
∵当d趋于0时，eq \f(Δs,d)趋于14t0，
∴14t0＝1，∴t0＝eq \f(1,14).
答案：eq \f(1,14)
9．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
解析：eq \f(Δy,d)＝eq \f(x0＋d2＋4x0＋d－x\\al(2,0)－4x0,d)
＝eq \f(2x0d＋d2＋4d,d)＝2x0＋d＋4，
因为当d趋于0时，eq \f(Δy,d)＝2x0＋4，
∴2x0＋4＝2，∴x0＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．某物体走过路程s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数s＝3t2＋2，通过平均速度估计物体在t＝2 s时的瞬时速度，并解释它的实际意义．
解：当自变量t从2变为2＋d时，平均速度eq \f(Δs,d)
＝eq \f(s2＋d－s2,d)＝eq \f(32＋d2＋2－3×22＋2,d)
＝12＋3d.
当d趋于0时，eq \f(Δs,d)趋于12，
∴物体在t＝2 s时的瞬时速度为12 cm/s.
瞬时速度为12 cm/s的实际意义是：如果物体保持t＝2 s这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动12 cm.
11．已知某质点的运动方程是s(t)＝3t2－2t＋1，求质点在t＝10时的瞬时速度的大小．
解：∵Δs＝3(10＋Δt)2－2(10＋Δt)＋1－(3×102－2×10＋1)＝3Δt2＋58Δt，∴eq \f(Δs,Δt)＝3Δt＋58.
∴当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于常数58，
∴质点在t＝10时的瞬时速度的大小为58.
12．求证：函数y＝x＋eq \f(1,x)图象上的各点处的切线斜率小于1.
证明：k(x，d)＝eq \f(fx＋d－fx,d)
＝eq \f(x＋d＋\f(1,x＋d)－x＋\f(1,x),d)
＝1－eq \f(1,xx＋d)，当d趋于0时，k(x，d)趋于1－eq \f(1,x2)，
所以y＝x＋eq \f(1,x)图象上任一点的切线斜率为1－eq \f(1,x2)<1.
∴y＝x＋eq \f(1,x)图象上的各点处的切线斜率小于1.