数学3.5 圆锥曲线的应用同步训练题

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各式正确的是(　　)

A．(sinα)′＝cosα(α为常数)　　 B．(cosx)′＝sinx

C．(sinx)′＝cosx   D．(x－5)′＝－x－6

解析：选C.由导数的运算法则易得，注意A选项中的α为常数，所以(sinα)′＝0.

2．与曲线y＝x2相切于P(e，e)处的切线方程是(其中e是自然对数的底)(　　)

A．y＝ex－2   B．y＝ex＋2

C．y＝2x＋e   D．y＝2x－e

解析：选D.∵y′＝(x2)′＝x，

故曲线在P(e，e)处切线斜率

k＝f′(e)＝2，

∴切线方程为y－e＝2(x－e)，

即y＝2x－e.

3．(2011年青州高二检测)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)

A．e2   B．ln2

C.   D．e

解析：选D.f′(x)＝x·(lnx)′＋(x)′·lnx＝1＋lnx.

∴f′(x0)＝1＋1nx0＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.

4．函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞)   B．(－∞，1)

C．(，＋∞)   D．(1，＋∞)

解析：选C.∵y′＝8x－＝>0，∴x>.

即函数的单调递增区间为(，＋∞)．

5．若甲的运动方程为s1(t)＝et－1，乙的运动方程为s2(t)＝et，则当甲、乙的瞬时速度相等时，t的值等于(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选A.需先求甲、乙的瞬时速度，即先求s1(t)、s2(t)的导数，s1′(t)＝et，s2′(t)＝e，即et＝e，∴t＝1.

6.

已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上为减函数

B．在x＝0处取极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数

D．在x＝2处取极大值

解析：选C.在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．

7．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.或－

解析：选C.y′＝－2x－2，令y′＝0，解得x＝－1或x＝0.当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是减函数，f(a)最大，－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去)．

8．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)

A．3   B．－3

C．5   D．－5

解析：选A.点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.

∴2＝f′(1)＝3×12＋a⇒a＝－1，∴f(x)＝x3－x＋b.

∵点(1,3)在曲线上，∴b＝3.

9．如图所示是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C.函数f(x)＝(x＋1)·x·(x－2)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2.

x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2

＝()2－2×(－)＝.

10．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(　　)

A．1∶2   B．1∶π

C．2∶1   D．2∶π

解析：选C.设圆柱高为x，底面半径为r，

则r＝，圆柱体积V＝π2·x

＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，

V′＝(x－2)(x－6)，当x＝2时，V最大．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上)

11．(2011年高考广东卷)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

解析：由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．

答案：2

12．当x∈[－1,2]时，x3－x2－2x<m恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：令f(x)＝x3－x2－2x，

若x3－x2－2x<m，x∈[－1,2]恒成立．

只要m>f(x)max，x∈[－1,2]，

由f′(x)＝3x2－x－2＝0得x＝1或－.

∵f(1)＝－，f(－)＝，

f(－1)＝，f(2)＝2.

∴f(x)max＝f(2)＝2.故m>2.

答案：m>2

13．电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

解析：由y′＝x2－39x－40＝0，

得x＝－1(舍去)或x＝40.

当0<x<40时，y′<0；当x>40时，y′>0，

所以当x＝40时，y有最小值．

答案：40

14．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．解析：

y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝f′(1)(x－1)，

即y＝3x－2.

作图可知

S△ABC＝|AB|·|BC|

＝×(2－)×4＝.

答案：

15．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f(x)在(－3，－)内单调递增；

②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；

③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；

⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．

则上述判断中正确的是________．

解析：函数的单调性由导数的符号确定，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，f(x)在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上是增函数，∴可排除①和②，可选择③.

由于在x＝－的左右两侧函数的导数都是正数，

故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，

∴x＝－不是函数的极值点，排除⑤，④中x＝2为极大值点．

答案：③

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．

解：(1)f′(x)＝2ax－a.

由已知得

解得

∴f(x)＝x2－2x＋.

(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，

即x－y＋1＝0.

17．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：

(1)实数a的值；

(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．

解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.

∵f′(x)＝3x2＋2ax，

∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.

(2)由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.

当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

从上表可知f(x)在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.

18．(本小题满分13分)已知f(x)＝x3－4x＋4，x∈[－3,6)，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)的极值与最值．

解：(1)f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，

令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，

列表：

由上表知：f(x)在(－3，－2)，(2,6)上递增；在(－2,2)上递减．

(2)由(1)知：f(x)的极大值是：

f(－2)＝，

f(x)的极小值是：f(2)＝－；

f(－3)＝7>－＝f(2)，

f(－2)＝<f(6)＝52，

∴f(x)min＝f(2)＝－，f(x)无最大值．

19．(本小题满分12分)(2011年高考重庆卷)设f＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′，若函数y＝f′的图象关于直线x＝－对称，且f′＝0.

求实数a，b的值；

求函数f的极值.

解：因为f＝2x3＋ax2＋bx＋1，

故f′＝6x2＋2ax＋b.

从而f′＝62＋b－，

即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，

从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.

又由于f′＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.

由知f＝2x3＋3x2－12x＋1，

f′＝6x2＋6x－12＝6.

令f′＝0，即6＝0，

解得x1＝－2，x2＝1.

当x∈时，f′>0，

故f在上为增函数；

当x∈时，f′<0，

故f在上为减函数；

当x∈时，f′>0，

故f在上为增函数．

从而函数f在x1＝－2处取得极大值f＝21，在x2＝1处取得极小值f＝－6.

20．(本小题满分12分)2011年第26届大运会期间某分公司大批生产了大运会吉祥物快乐因子“UU”．若每件商品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，这一年的销售量为(12－x)2万件．

(1)求分公司这一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司这一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．

解：(1)由题意，知分公司这一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．

(2)L′＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)

＝(12－x)(18＋2a－3x)．

令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(舍去)．

∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.

∵在x＝6＋a两侧L′的值由正变负，

∴当8≤6＋a<9，

即3≤a<时，L在x＝9处取得最大值，

Lmax＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；

当9≤6＋a≤，

即≤a≤5时，L在x＝6＋a处取得最大值，

Lmax＝4(3－a)3；

故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司这一年的利润L最大，最大值为Q(a)＝9(6－a)万元；

若≤a≤5，则当每件售价为(6＋a)元时，分公司这一年的利润L最大，最大值为Q(a)＝4(3－a)3万元．

21．(本小题满分12分)(2011年高考安徽卷)设f(x)＝，其中a为正实数．

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

解：对f(x)求导得f′(x)＝ex.①

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

解得x1＝，x2＝.结合①，可知

所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.

所以a的取值范围为{a|0<a≤1}．