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高中苏教版第3章 不等式综合与测试一课一练
展开这是一份高中苏教版第3章 不等式综合与测试一课一练,共5页。试卷主要包含了填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
(时间:30分钟 满分:60分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为________.
解析 设数列{an}的公比为q(q>0),前n项和为Sn,由a1=1,a5=16,得q4=eq \f(a5,a1)=16,所以q=2,从而得S7=eq \f(a11-q7,1-q)=127.
答案 127
2.设数列{aeq \\al(2,n)}前n项和为Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an}是________数列,通项an=________.
解析 由Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn),所以an+2=tan+1,所以eq \f(an+2,an+1)=t,又eq \f(a2,a1)=t,
所以{an}成等比数列,且an=t·tn-1=tn.
答案 等比 tn
3.(2012·泰州模拟)数列{an}为正项等比数列,若a2=2,且an+an+1=6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前4项和S4=________.
解析 由a1q=2,a1qn-1+a1qn=6a1qn-2,得qn-1+qn=6qn-2,所以q2+q=6.又q>0,所以q=2,a1=1.
所以S4=eq \f(a11-q4,1-q)=eq \f(1-24,1-2)=15.
答案 15
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-eq \f(1,5),则实数t的值为________.
解析 ∵a1=S1=eq \f(1,5)t-eq \f(1,5),a2=S2-S1=eq \f(4,5)t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)t))2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t-\f(1,5)))×4t,显然t≠0,所以t=5.
答案 5
5.(2012·南京模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2≥eq \f(1,8)的最大正整数n的值为________.
解析 由等比数列的性质,得4=a2·a4=aeq \\al(2,3)(a3>0),所以a3=2,所以a1+a2=14-a3=12,于是由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2=2,,a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+q))=12,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1=8,,q=\f(1,2),))所以an=8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n-4.
于是由an·an+1·an+2=aeq \\al(3,n+1)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3(n-3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))n-3≥eq \f(1,8),得n-3≤1,即n≤4.
答案 4
6.(2013·宿迁联考)设a1=2,an+1=eq \f(2,an+1),bn=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(an+2,an-1)))-1,n∈N*,则b2 011=________.
解析 由题意得b1=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a1+2,a1-1)))-1=3,
bn+1=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(an+1+2,an+1-1)))-1=2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(an+2,an-1)))-1=2(bn+1)-1=2bn+1,∴bn+1+1=2(bn+1),故eq \f(bn+1+1,bn+1)=2,故数列{bn+1}是以4为首项,2为公比的等比数列.∴bn+1=2n+1,∴bn=2n+1-1.
答案 22 012-1
二、解答题(每小题15分,共30分)
7.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*,且a≠3.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
∴{Sn-3n}是等比数列,
因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*①
(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,
an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n-2+a-3)),
当n≥2时,an+1≥an⇔12·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n-2+a-3≥0⇔a≥-9,又a2=a1+3>a1.综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).
8.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,
故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1
=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,
于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.
因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2,
所以an+1-2an=3×2n-1,于是eq \f(an+1,2n+1)-eq \f(an,2n)=eq \f(3,4),
因此数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首项为eq \f(1,2),公差为eq \f(3,4)的等差数列,
eq \f(an,2n)=eq \f(1,2)+(n-1)×eq \f(3,4)=eq \f(3,4)n-eq \f(1,4),
所以an=(3n-1)·2n-2.
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1.已知{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为eq \f(5,4),则S5=________.
解析 设数列{an}的公比为q,则由等比数列的性质知,a2·a3=a1·a4=2a1,即a4=2.
由a4与2a7的等差中项为eq \f(5,4)知,a4+2a7=2×eq \f(5,4),
∴a7=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(5,4)-a4))=eq \f(1,4).∴q3=eq \f(a7,a4)=eq \f(1,8),即q=eq \f(1,2).
∴a4=a1q3=a1×eq \f(1,8)=2,∴a1=16,∴S5=eq \f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,25))),1-\f(1,2))=31.
答案 31
2.(2011·江苏卷)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值为________.
解析 由题意知a3=q,a5=q2,a7=q3且q≥1,a4=a2+1,a6=a2+2且a2≥1,那么有q2≥2且q3≥3.故q≥eq \r(3,3),即q的最小值为eq \r(3,3).
答案 eq \r(3,3)
3.已知数列{xn}满足lg xn+1=1+lg xn (n∈N*),且x1+x2+x3+…+x100=1,则lg(x101+x102+…+x200)=________.
解析 由lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得lg xn+1-lg xn=1,∴eq \f(xn+1,xn)=10,∴数列{xn}是公比为10的等比数列,∴xn+100=xn·10100,∴x101+x102+…+x200=10100(x1+x2+x3+…+x100)=10100,∴lg(x101+x102+…+x200)=lg 10100=100.
答案 100
4.(2013·盐城调研)已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数α,β,使得an=lgαbn+β对每一个正整数n时成立,则αβ=________.
解析 由题意,可设an=2+(n-1)d,bn=qn-1,于是由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2=b2,,2a4=b3,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2+d=q,,22+3d=q2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d=2d≠0,,q=4,))所以an=2n,bn=22n-2,代入an=lgαbn+β,得2n=(2n-2)lgα2+β,即2n(1-lgα2)=β-2lgα2,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgα2=1,,β-2lgα2=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=2,,β=2.))故αβ=22=4.
答案 4
5.(2012·镇江统考)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2·a4=65,a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)若1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值;
(3)是否存在常数k,使得数列{eq \r(Sn+kn)}为等差数列?若存在,求出常数k;若不存在,请说明理由.
解 (1)因为a1+a5=a2+a4=18,又a2·a4=65,
所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根.
又公差d>0,所以a2<a4.所以a2=5,a4=13.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1+d=5,,a1+3d=13,))解得a1=1,d=4.所以an=4n-3.
(2)由1<i<21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,所以a1·a21=aeq \\al(2,i),即1·81=(4i-3)2,解得i=3.
(3)由(1)知, Sn=n·1+eq \f(nn-1,2)·4=2n2-n.
假设存在常数k,使数列{eq \r(Sn+kn)}为等差数列,
由等差数列通项公式,可设eq \r(Sn+kn)=an+b,
得2n2+(k-1)n=an2+2abn+b恒成立,可得a=2,b=0,k=1.所以存在k=1使得{eq \r(Sn+kn)}为等差数列.
6.(2012·苏北四市调研二)设Sn为数列{an}的前n项和,若eq \f(S2n,Sn)(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”.
(1)若数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,试判断数列{bn}是否为“和等比数列”;
(2)若数列{cn}是首项为c1,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,试探究d与c1之间的关系.
解 (1)因为数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,所以2bn=2·4n-1=22n-1,因此,bn=2n-1,设数列{bn}前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以eq \f(T2n,Tn)=4.因此数列{bn}是“和等比数列”.
(2)设数列{cn}的前n项和为Rn,且eq \f(R2n,Rn)=k(k≠0),则由{cn}是等差数列,得Rn=nc1+eq \f(nn-1,2)d,R2n=2nc1+eq \f(2n2n-1,2)d,所以eq \f(R2n,Rn)=eq \f(2nc1+\f(2n2n-1,2)d,nc1+\f(nn-1,2)d)=k.
对于n∈N*都成立,化简得(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k-4d=0,,k-22c1-d=0.))因为d≠0,所以k=4,d=2c1.
因此,d与c1之间的等量关系为d=2c1.