2021学年第3章 不等式综合与测试课时训练

这是一份2021学年第3章 不等式综合与测试课时训练，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．(2012·南京市、盐城市一模)在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cs C＝________.
解析 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，得a∶b∶c＝2∶3∶4.不妨设a＝2m，b＝3m，c＝4m(m>0)．由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(4m2＋9m2－16m2,2·2m·3m)＝－eq \f(1,4).
答案 －eq \f(1,4)
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2，则角A的大小为________．
解析 由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(π,3).
答案 eq \f(π,3)
3．已知△ABC中，AB＝2，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的周长为________(用含角A的三角函数表示)．
解析 由正弦定理，得△ABC的周长为a＋b＋c＝eq \f(2sin A,sin\f(π,3))＋eq \f(2sin B,sin \f(π,3))＋2＝eq \f(4,\r(3))sin A＋eq \f(4,\r(3))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＋2＝2eq \r(3)sin A＋2cs A＋2＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋2.
答案 4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋2
4．(2011·四川卷改编)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是________．
解析 由题意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，∴b2＋c2－a2≥bc，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq \f(1,2)，所以0＜A≤eq \f(π,3).
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
5．(2011·重庆卷改编)若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
解析 由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs 60°＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
6．(2011·安徽卷)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
解析 不妨设A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是由cs 120°＝eq \f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq \f(1,2)，解得b＝10，S＝eq \f(1,2)bcsin 120°＝15eq \r(3).
答案 15eq \r(3)
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．(2012·苏州市自主学习调查)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，求A的值；
(2)若c＝10，A＝45°，C＝30°，求b的值．
解 (1)由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得cs A＝eq \f(1,2).
由于0(2)由于A＋B＋C＝180°，所以B＝180°－45°－30°＝105°.
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得b＝eq \f(c,sin C)·sin B＝eq \f(10,sin 30°)·sin 105°＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))．
8．(2011·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a.
(1)求cs A的值；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))的值．
解 (1)由B＝C,2b＝eq \r(3)a，可得c＝b＝eq \f(\r(3),2)a，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq \f(1,3).
(2)因为cs A＝eq \f(1,3)，A∈(0，π)，所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(2\r(2),3)，cs 2A＝2cs2A－1＝－eq \f(7,9)，sin2A＝2sinAcsA＝eq \f(4\r(2),9).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))＝cs 2Acseq \f(π,4)－sin 2Asineq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)))×eq \f(\r(2),2)－eq \f(4\r(2),9)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(8＋7\r(2),18).
分层训练B级 创新能力提升
1．(2011·北京卷)在△ABC中，若b＝5，B＝eq \f(π,4)，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.
解析 ∵tan A＝2＞0，∴A为锐角，
又eq \f(sin A,cs A)＝2①，sin2A＋cs2A＝1②
由①②得sin A＝eq \f(2\r(5),5).a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(5sin A,sin\f(π,4))＝eq \f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq \r(10).
答案 eq \f(2\r(5),5) 2eq \r(10)
2.(2011·天津卷改编)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq \r(3)BD，BC＝2BD，则sin C＝________.
解析 设AB＝a，∴BD＝eq \f(2,\r(3))a，BC＝2BD＝eq \f(4,\r(3))a，
cs A＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq \f(2a2－\f(4,3)a2,2a2)＝eq \f(1,3)，
∴sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(2\r(2),3)，
由正弦定理知sin C＝eq \f(AB,BC)·sin A＝eq \f(\r(3),4)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(\r(6),6).
答案 eq \f(\r(6),6)
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq \r(3)bc，sin C＝2eq \r(3)sin B，则A角大小为________．
解析 由a2－b2＝eq \r(3)bc，c＝2eq \r(3)b，得a2＝7b2，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋12b2－7b2,4\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝eq \f(π,6).
答案 eq \f(π,6)
4．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为eq \f(3,2)，那么b＝________.
解析 由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面积为eq \f(3,2)，且B＝30°，
故由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)acsin 30°＝eq \f(1,4)ac＝eq \f(3,2)，
得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4b2－12－b2,2×6)＝eq \f(b2－4,4)＝eq \f(\r(3),2).
解得b2＝4＋2eq \r(3).又因为b为边长，故b＝1＋eq \r(3).
答案 1＋eq \r(3)
5．(2011·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知eq \f(cs A－2cs C,cs B)＝eq \f(2c－a,b).
(1)求eq \f(sin C,sin A)的值；
(2)若cs B＝eq \f(1,4)，△ABC的周长为5，求b的长．
解 (1)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆半径)，所以eq \f(cs A－2cs C,cs B)＝eq \f(2c－a,b)＝eq \f(2sin C－sin A,sin B)，即sin Bcs A－2sin Bcs C＝2sin Ccs B－sin Acs B，即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，
即sin C＝2sin A，所以eq \f(sin C,sin A)＝2.
(2)由(1)知eq \f(sin C,sin A)＝2，所以有eq \f(c,a)＝2，即c＝2a，
又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a，
由余弦定理及cs B＝eq \f(1,4)得b2＝c2＋a2－2accs B，
即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×eq \f(1,4)，解得a＝1，所以b＝2.
6．(2012·盐城市二模)设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2＝eq \f(1,2)ac.
(1)求证：cs B≥eq \f(3,4)；
(2)若cs(A－C)＋cs B＝1，求角B的大小．
解 (1)因为cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋c2－\f(1,2)ac,2ac)≥
eq \f(2ac－\f(1,2)ac,2ac)＝eq \f(3,4)，所以cs B≥eq \f(3,4).
(2)因为cs(A－C)＋cs B＝cs(A－C)－cs(A＋C)＝
2sin Asin C＝1，所以sin Asin C＝eq \f(1,2).
又由b2＝eq \f(1,2)ac，得sin2B＝eq \f(1,2)sin Asin C＝eq \f(1,4)，
又B∈(0，π)，故sin B＝eq \f(1,2).由(1)，得B＝eq \f(π,6).