2013-2014学年高中数学同步训练：第2章 平面向量 2.4（二） （苏教版必修4） Word版含答案

2.4　向量的数量积(二)一、填空题1．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|＝________.4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________.5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝______.6．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为________．7．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则________．①a⊥e　②a⊥(a－e)　③e⊥(a－e)④(a＋e)⊥(a－e)8. 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值是________．二、解答题9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.10．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．11．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围．三、探究与拓展12．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．          答案1．±　2.120°　3.7　4.－　5.－  6.或(90°)  7．③8．－29．解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝；又|a|＝1，∴|b|＝.∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝，∴cos θ＝，∴向量a，b的夹角为45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，∴|a－b|＝.10．解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.|a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝，|b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.11．(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.所以k2－2k>0，解得k<0，或k>2.所以实数k的取值范围为k<0，或k>2.12．解　由向量垂直得，即，化简得，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴a与b的夹角为.