2013-2014学年高中数学同步训练：第2章 平面向量 2.5（一） （苏教版必修4） Word版含答案

2.5　向量的应用(一)一、填空题1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是________．2．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．3．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是________．4．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝_______.5．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．6．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ＝________.7．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是________三角形．8．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.二、解答题9．如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.10．求证：△ABC的三条高线交于一点．11．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：∠ADB＝∠FDC.三、探究与拓展12. 如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.   答案1.　2.x＋3y－7＝0　3.45°　4.－25  5．重心　6.－3  7．等边8.9．证明　∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设＝μ(μ≠1)，则＝μ，＝(μ－1)，同理，由∥，可得＝(μ－1)，∴＝－＝－＝(μ－1)，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴＝λ，∴AD∥MN.10．证明　如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．设BE，CF交于H点，令＝b，＝c，＝h，则＝h－b，＝h－c，＝c－b.∵⊥，⊥，∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，即(h－b)·c＝(h－c)·b整理得h·(c－b)＝0，∴·＝0，∴AH⊥BC，∴与共线．AD、BE、CF相交于一点H.11．证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是＝(－2,1)，＝(－2,2)，设F(x，y)，由⊥，得·＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.①又F点在AC上，则∥，而＝(－x,2－y)，因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①、②式解得x＝，y＝，∴F，＝，＝(0,1)，·＝，又·＝||||cos θ＝cos θ，∴cos θ＝，即cos∠FDC＝，又cos∠ADB＝＝＝，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.12．证明　设P＝λC，并设△ABC的边长为a，则有P＝P＋D＝λC＋B＝λ(B－B)＋B＝(2λ＋1)B－λB，又E＝B－B.∵P∥E，∴(2λ＋1)B－λ＝k－k.于是有：解得，λ＝.∴P＝C.∴B＝B＋C＝B＋B.C＝B－B.从而B·C＝(B＋B)·(B－B)＝a2－a2－a2cos 60°＝0.∴⊥.∴BP⊥DC.