高中数学湘教版选修2-1：(课件) 第一章 1．1.3　充分条件和必要条件

1．1.3　充分条件和必要条件1.1.3课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．1．命题的结构：若p则q，其中“p”是____，“q”是________．2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性____________．条件结论相同没有关系1．充分条件和必要条件“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作_______，并且说p是q的_______条件，q是p的________条件．当命题“若p则q”为假命题时，记作p q．在这种情况下，p是q的_______条件，q是p的_______条件．p⇒q充分必要不充分不必要2．充要条件(1)如果既有______，又有_____，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称______条件．(2)概括地说：如果_______，那么p与q互为充要条件．p⇒qq⇒p充要p⇔q若p是q的充分条件，那么p唯一吗？提示：不唯一．如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等也都是x>0的充分条件．　思考感悟【思路点拨】　只需按充分、必要条件的定义，分析若p成立，q是否成立，再反过来，q成立时，p是否成立．【解】　(1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0，反过来，若a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为函数f(x)＝2x＋1⇒f(x)是增函数，但f(x)是增函数 f(x)＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)取α＝150°，β＝30°，α>β，但sin 150°＝sin 30°，即p q；反之，sin 60°>sin 150°，但60°>150°不成立，则q p，所以p是q的既不充分也不必要条件．【名师点评】　一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件和结论是不等关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，那么，若A⊆B，则p是q的充分条件，若B⊆A，则p是q的必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两个方面进行．此时要特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么．(2)在具体解题时需注意若推出(⇒)关系成立，需严格证明．若推出(⇒)关系不成立，可举反例说明． 证明：关于x的一元二次不等式x2＋px＋q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.【思路点拨】　证明充要条件问题，必须分清条件与结论．由“条件”⇒“结论”，是证明命题的充分性；由“结论”⇒“条件”，是证明命题的必要性．【名师点评】　(1)在证明充要条件问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意题目给出的格式，若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”就是p⇒q.若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若直接证明不易证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后再加以证明．自我挑战2　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac