2021学年1.1 集合的含义及其表示教学设计

§1.1　集合的含义及其表示

第1课时　集合的含义

课时目标　1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．

1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．

2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．

3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．

4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．

5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．

一、填空题

1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)

①著名的科学家；

②留长发的女生；

③2010年广州亚运会比赛项目；

④视力差的男生．

2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)

①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A.

3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)

①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．

4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)

①1；②－2；③6；④2.

5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．

6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有________个元素．

7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)

①不超过π的正整数；

②本班中成绩好的同学；

③高一数学课本中所有的简单题；

④平方后等于自身的数．

8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．

9．用符号“∈”或“∉”填空

－______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.

二、解答题

10．判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；

(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；

(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．

11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.

能力提升

12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．

2．集合中元素的三个性质

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．

第1章　集　合

§1.1　集合的含义及其表示

第1课时　集合的含义

知识梳理

1．集合　元素　元　2.大写拉丁字母A，B，C…　小写拉丁字母a，b，c，…　3.属于　∈　属于　不属于　∉　不属于

4．确定性　互异性　无序性　5.R　Q　Z　N　N*　N＋

作业设计

1．③

解析　①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．

2．③

解析　由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．

3．④

解析　集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．

4．③

解析　因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③.

5．3

解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．

6．2

解析　因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．

7．①④

解析　①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.

8．－1

解析　当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.

9．∈　∈　∉　∉

10．解　(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．

(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．

(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．

(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．

11．解　由－3∈A，

可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－.

则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，

∴a＝－.

12．解　∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

13．证明　(1)若a∈A，则∈A.

又∵2∈A，∴＝－1∈A.

∵－1∈A，∴＝∈A.

∵∈A，∴＝2∈A.

∴A中另外两个元素为－1，.

(2)若A为单元素集，则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠，

∴A不可能为单元素集．

第2课时　集合的表示

课时目标　1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．

1．列举法

将集合的元素____________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．两个集合相等

如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等．

3．描述法

将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．

4．集合的分类

(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集．

(2)无限集：含有________元素的集合称为无限集．

(3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．

一、填空题

1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为___________________________________．

2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示________．(填序号)

①方程y＝2x－1；

②点(x，y)；

③平面直角坐标系中的所有点组成的集合；

④函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．

3．将集合表示成列举法为______________．

4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为________．

5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有________．(填序号)

①－1∈A；②0∈A；③∈A；④2∈A.

6．方程组的解集不可表示为________．

①{(x，y)|}；②{(x，y)|}；

③{1,2}；④{(1,2)}．

7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________________________.

8．下列各组集合中，满足P＝Q的为________．(填序号)

①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；

②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；

③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．

9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)

①M＝{π}，N＝{3.141 59}；

②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；

③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；

④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．

二、解答题

10．用适当的方法表示下列集合

①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；

②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；

③不等式x－2>6的解的集合；

④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．

11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．

能力提升

12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．

①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．

13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是____________________________________________________．

1．在用列举法表示集合时应注意：

①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．

2．在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？

(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．

第2课时　集合的表示

知识梳理

1．一一列举　2.完全相同　3.性质　条件

4．(1)有限个　(2)无限个　(3)∅

作业设计

1．{1,2,3,4}

解析　{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．

2．④

解析　集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．

3．{(2,3)}

解析　解方程组得

所以答案为{(2,3)}．

4．{1}

解析　方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，

∴x1＝x2＝1，

故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．

5．②

6．③

解析　方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．

7．{5,4,2，－2}

解析　∵x∈Z，∈N，

∴6－x＝1,2,4,8.

此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．

8．②

解析　①中P、Q表示的是不同的两点坐标；

②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．

9．④

解析　只有④中M和N的元素相等，故答案为④.

10．解　①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，

∴解集为{0，－1}；

②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；

③{x|x>8}；

④{1,2,3,4,5,6}．

11．解　因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：

集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；

集合B中代表的元素是y，

满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，

所以B＝{y|y≥3}．

集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．

12．③

解析　由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}

＝{1}，

而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．

13．x0∈N

解析　M＝{x|x＝，k∈Z}，

N＝{x|x＝，k∈Z}，

∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，

∴x0∈M时，一定有x0∈N.