数学必修11.1 集合的含义及其表示教案及反思

第1课时  集合的含义及其表示（一）

【学习目标】

1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法；

2.会用符号∈和表示对象与集合之间的关系.

【课前导学】

（一）生活中

1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级.

2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？

【特征】  同一类对象的汇集  .

（二）数学中

1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；

2.【数】自然数集、整数集、 ··· .

【课堂活动】

一、建构数学：

（一）集合的有关概念：

1 .集合：一定范围内某些  确定的   、   不同的   对象的全体构成一个集合（set) .

2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)（简称元）.

探讨以下问题:

(1)           {1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗?

(2)著名科学家能构成一个集合吗?

(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？

(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素.

(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.

(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.

由“问题探究”可以归纳：

按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.

（2）互异性：

集合中的元素没有重复.

（3）无序性

集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.

4.集合的表示：

集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .

5.元素与集合的关系：

如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；

如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A .

又如：2∈Z，2.5Z

二、应用数学：

例1 下列的各组对象能否构成集合：

(1)所有的好人；

(2)小于2003的数；

(3) 和2003非常接近的数；

(4)小于5的自然数；

(5)不等式2x+1>7的整数解；

(6)方程x2+1=0的实数解.

【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发.

解：（1）（3）不符合集合元素的确定性，（2）（4）（5）（6）能够构成集合.

例2 如果，求实数x的值.

【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。

解：当=0时，有x=0, 这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；

当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；

X= -1时，经检验，符合题意！

当=x时，有x=0或1，同上，经检验，均不合，舍去；

综上所述，= －1 .

【解后反思】

1 .思路的确定：

2 .解题的规范性：

3 .含参要讨论：

4 .结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.

【变式】

1.如果，y可能的取值组成的集合为        .

2.a、b、c为三角形ABC的三边，S={a,b,c},则三角形一定不是   等腰三角形   .

例3 ，若A=B，求a的值.

解：A={0，-4}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}={0,-4} ，

0,-4为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，∴a=1 .

例4 集合A={x|ax2-2x+1=0},B={x| x2-2x+a=0}中，已知A只有一个元素，求集合A与B .

解：当a=0 时  ， A={}， B={0,2}；

当a≠0时 ，对于集合A有=4-4a=0  ∴a=1 ，

此时 A=B={1} .

【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论.

（二）常用数集及记法

（1）自然数集（非负整数集） ：全体非负整数的集合，记作N；

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+；

（3）整数集：全体整数的集合，记作Z；

（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；

（5）实数集：全体实数的集合，记作R .

（三）有限集与无限集

1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；

2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；

3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作Φ.

三、理解数学：

1.用符号“”或“∈”填空：

1    ∈   N ,  1    ∈    Z , -3        N ,  -3    ∈    Q

0    ∈   N ,  0    ∈    Z ,          N ,   ∈      R

2. “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的序号是      ②    .

解析：解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发.

①③④不符合集合元素的确定性特征.

3.下列命题不能构成集合的序号为    ①②③④         .

①       很小两实数可以构成集合；

②       与是同一集合

③       这些数组成的集合有5个数；

④       集合是指第二、四象限内的点集.

解析：①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；

②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；

③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；

④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对.

4.则中的元素应满足什么条件？

解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案: .

【课后提升】

1.下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数；

（2）好心的人；     

（3）1，2，2，3，4，5.

解：（1）（不确定性）（2）（不确定性）（3）（有重复）

2.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是        .

解：_-2,0,2__

3.由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含             个元素.

解：2

4.若{t},求t的值.

解：- 1 .

5. 若A={{x|ax+1=0}中元素的个数为                     .

解：0个或1个.

6.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?

解：

【思考】

集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？

   （1）0       （2）      （3）

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