高中数学苏教版必修11.2 子集、全集、补集教学设计

第四课时  子集、全集、补集(二)

教学目标：

使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.

教学重点：

补集的概念.

教学难点：

补集的有关运算.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?

2.两个集合相等应满足的条件是什么?

Ⅱ.讲授新课

［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是

部分与整体的关系.

请同学们由下面的例子回答问题：

幻灯片（A）：

看下面例子

A＝{班上所有参加足球队同学}

B＝{班上没有参加足球队同学}

S＝{全班同学}

那么S、A、B三集合关系如何?

［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.

即为如图阴影部分

由此借助上图总结规律如下：

幻灯片(B)：

1.补集

一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).

记作CSA，即CSA＝{x｜x∈3且xa}

上图中阴影部分即表示A在S中补集CSA

2.全集

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.

［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.

举例如下：请同学们思考其结果.

幻灯片(C)：

举例，请填充

(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则CSA＝____________.

(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则CSB＝___________.

(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝，则CSA＝_______.

(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，CUA＝{5}，则a＝_______

(5)已知A＝{0，2，4}，CUA＝{－1，1}，CUB＝{－1，0，2}，求B＝_______

(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，CUA＝{5}，求m.

(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求CUA、m.

师生共同完成上述题目，解题的依据是定义

例(1)解：CSA＝{2}

评述：主要是比较A及S的区别.

例(2)解：CSB＝{直角三角形或钝角三角形}

评述：注意三角形分类.

例(3)解：CSA＝3

评述：空集的定义运用.

例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1±

评述：利用集合元素的特征.

例(5)解：利用文恩图由A及CUA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.

例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2

例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6

当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}

又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}

故满足题条件：CUA＝{1，4}，m＝4；CUB＝{2，3}，m＝6.

评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.

Ⅲ.课堂练习

课本P10练习  1，2，3，4

Ⅳ.课时小结

1.能熟练求解一个给定集合的补集.

2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P10习题1.2  3，4

3.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么CSA＝{x｜x是梯形}.

补充：

1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：

(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3}                          （    ）

(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形}         （    ）

(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形}                     （    ）

(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A                                  （    ）

(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝                                  （    ）

(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}                             （    ）

(7)若U是全集且AB，则CUACUB                                    （    ）

解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.

在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{3}.

 (2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得CSA＝{锐角或钝角三角形}.

(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.

(4)因U＝{1，2，3}，A＝，故CUA＝U.

(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝.

(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}.

(7)若U是全集且A＝B，则CUACUB.

评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(CUA)＝U.

2.填空题

(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.

(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.

(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.

(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________

解：由全集、补集意义解答如下：

(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知CUA＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知CUA＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.

3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.

解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么CUA＝{0，2，4，6，8，10}，CUB＝{0，1，4，6，8，9，10}.

4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.

解：因A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，

故U＝A∪（CUA）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}

而CUB＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.

5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.

解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)

所以符合题条件的a＝4

评述：此题和第4题都用CUA＝{x｜x∈5，且xA}，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.

6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.

分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.

解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且xM}＝{8}

评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与CAB中元素的特征相同，后者要求BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.

7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.

分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.

解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，

故CRN＝{x｜x≥a}，使MCRN的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，

又y＝－x2－4x－6＝－（x＋2）2－2≤－2

那么B＝{y｜y≤－2}，故A＝B

8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.

解：因a＝{x｜x2－3x＋2≤0}＝{x｜1≤x≤2}，所以CRA＝{x｜x＜1或x＞2}

B与CRA的所有元素组成全集R,则AB.B与CRA的公共元素构成{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，则{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}B

在数轴上表示

集合B为A及{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}的元素组成，即B＝{x｜0＜x＜3}.

评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B∪CRA＝R，B∩CRA＝{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}.

9.设U＝{（x，y）｜x,y∈R},A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.

解：a＝{（x，y）｜y＝x＋1，x≠2}，它表示直线y＝x＋1去掉(2，3)的全体，从而CUA＝{（2，3）}，而B＝{（x，y）｜y＝x＋1}表示直线y＝x＋1上的全体点的集合.如图所示，CUA与B的公共元素就是(2，3).

评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.

（二）1.预习内容：课本P10～P11

2.预习提纲：

(1)交集与并集的含义是什么?能否说明?

(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.

子集、全集、补集(二)

1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：

(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3}                          （    ）

(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形}         （    ）

(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形}                     （    ）

(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A                                  （    ）

(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝                                  （    ）

(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}                             （    ）

(7)若U是全集且AB，则CUACUB                                    （    ）

2.填空题：

(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.

(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.

(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.

(4) U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则a＝_______，b＝_________

3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.

4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.

5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.

6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.

7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.

8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.

9.设U＝{（x，y）｜x，y∈R}，A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.