苏教版必修11.3 交集、并集教案设计

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例题讲解例1集合A={x｜x=, m∈Z, ｜m｜<3, n∈N, n≤3},试用列举法将A表示出来.解：∵，∴例2设全集，又集合求（1）；      （2）；（3）()()；    （4）()()；（5）；     （6）()答案：（1）（2）（3）()()=（4）()()=（5）=（6）()=例3设集合，同时满足下列条件：（Ⅰ）（Ⅱ），求α、β的值．解：由（Ⅰ）得；由（Ⅱ）得∴小结：①要注意；区分符号的区别.②集合的运算常借助数轴，数形结合来研究集合间的相互关系与运算.  例4．某中学高一年级开设了两门选修课：电子制作和艺术欣赏，要求每个同学至少选一门．已知选电子制作的有218人，选艺术欣赏的有156人，还有27人同时选了这两门课．问：这个年级一共有学生多少人？分析：利用文氏图，可以直观地看到，全年级的学生可分为三类，一类是只选电子制作的；第二类是只选艺术欣赏的；第三类是两门课都选的．这三类不重不漏，将各类人数相加即得年组总数．∴ (218－27)+27+(156－27)=218+156－27=347(人)  例5．某班共有学生50人，其中有28人参加了计算机小组，有23人参加了生物小组，还有5人这两个小组都没有参加．问：(1) 两个小组都参加的学生有几人？(2) 只参加了一个小组的学生有几人？(3) 至少参加了一个小组的学生有几人？分析：设全班学生组成集合为I，参加计算机小组的学生组成集合A，参加生物小组的学生组成集合B，(如图)至少参加一个小组的学生有50－5=45(人)，即A∪B中元素个数为45．而A与B元素个数和为28+23=51(人)，说明有51－45=6(人)两个小组都参加了．那么只参加了一个小组的学生有45－6=39(人)．    例6．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.(1)大于10的所有自然数组成的集合（２）由24与30的所有公约数组成的集合（３）方程ｘ２－４＝０的解集(4)小于10所有质数组成的集合(5)方程(ｘ－１）２（ｘ－２）＝０的解集.选题意图：本题主要用来强化集合的表示方法及集合的分类，培养学生灵活解题的能力.解：（１）｛ｘ∈Ｎ｜ｘ＞１０｝，无限集（２）｛１，２，３，６｝，有限集(3)｛２，－２｝，有限集(5)｛１，２｝，有限集说明：五个小题中只有(1)用描述法较好，其余的用列举法较好，但应注意，(5)不能写成｛１，１，２｝，要注意元素的互异性.例7．设U＝Ｒ，又集合Ａ＝｛ｘ｜－５＜ｘ＜５，Ｂ＝｛ｘ｜０≤ｘ＜７，则A∩Ｂ＝           ；Ａ∪Ｂ＝           ；（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝           ；（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝           ；ＣＵ（Ａ∩Ｂ）＝           ；Ａ∪（ＣＵＢ）＝           ．选题意图：此例主要加强补集、交集、并集的概念及利用数轴求补集、交集、并集的方法.解：Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜０≤ｘ＜５}；Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜－５＜ｘ＜７}（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ≤－５或ｘ≥７｝（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ≥５｝ＣＵ（Ａ∩Ｂ）＝（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ≥５＝Ａ∪（ＣＵＢ）＝｛ｘ｜ｘ＜５或ｘ≥７说明：在求（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）和（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）时，可运用摩根律，即（ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）＝ＣＵ（Ａ∪Ｂ）、（ＣＵA)∪（ＣＵＢ）＝ＣＵ（Ａ∩Ｂ），由于已求出Ａ∩Ｂ和Ａ∪Ｂ，故(ＣＵＡ）∩（ＣＵＢ）和（ＣＵＡ）∪（ＣＵＢ）可直接得出.摩根律可用文氏图验证，证明一般用证集合相等的方法.例8．已知：集合A＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２＋ａｘ＋１＝０｝，Ｂ＝｛１，２｝，且Ａ Ｂ，求实数a的取值范围.选题意图：本例旨在训练子集概念在方程中的应用，培养学生全面考虑问题的能力.解：∵Ｂ＝｛１，２｝，ＡＢ，∴A可能是Ａ＝｛１｝，Ａ＝｛２｝，Ａ＝当A＝｛１｝时，a=-2当Ａ＝｛２｝时，有方程组无解当Ａ＝时，-2＜ａ＜２综上，实数a的取值范围是－２≤ａ＜２．说明：空集是任何非空集合的真子集，A？？Ｂ，A可能是空集，这是容易忽略的.例9．A是包含于方程ｘ２－ｐｘ＋１５＝０的解集，B是包含于方程ｘ２－５ｘ＋ｑ＝０的解集，又Ａ∪Ｂ＝｛２，３，５｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，求p、q的值及集合A、B.选题意图：本例主要强化交集、并集概念在方程的解集中的应用.解：设ｘ１，ｘ２为方程ｘ２－ｐｘ＋１５＝０的两根；ｘ3，ｘ４为方程ｘ２－５ｘ＋ｑ＝０的两根.则有   ∵Ａ∪Ｂ＝｛２，３，５｝且Ａ∩Ｂ＝｛３｝∴上述两方程组有一个公共根3.设ｘ１＝ｘ３＝３，则ｘ２＝５，ｘ４＝２∴ｐ＝３＋５＝８，ｑ＝２×３＝６∴方程ｘ２－ｐｘ＋１５＝０的解集为｛３，５｝，方程ｘ２－５ｘ＋ｑ＝０的解集为｛２，３｝∴Ａ｛３，５｝，Ｂ｛２，３｝∴Ａ＝｛３，５｝，Ｂ＝｛２，３｝说明：求集合A、B需首先确定方程的解集，而3是两方程的公共根是解题的关键.   交集并集引申与提高 1．交集、并集运算定律(A∩B)∩C =A∩(B∩C)         交换律，结合律(A∪B)∪C = A∪(B∪C)         交换律，结合律(A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C)     分配律(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)     分配律以上定律可利用文氏图直观得以验证．2．关于交集、并集中元素个数的计算．用n (A)表示集合A中元素的个数，则有：(1) n (A∪B)=n (A)+n (B)－n (A∩B)(2) n (A∪B∪C)=n (A)+n (B)+n (C)－n (A∩B)－n (A∩C)－n (B∩C)+n(A∩B∩C)这两个等式可以用文氏图直观验证，用圆圈代表集合，则这个集合中元素的个数可以用圆圈所覆盖的面积来表示．公式(1)中n (A∪B)直观上就是集合A、B两个圆所覆盖的面积的大小．当两个集合交集为空集时，显然有：n (A∪B)=n (A)+n (B)．当两个集合A、B交集非空时(如图)显然有两圆圈所覆盖面积小于两圆圈所覆盖面积的和，所少的部分即为两圆圈重叠部分的面积，所以有n (A∪B)=n (A)+n (B)－n(A∩B)．公式(2)中n (A∪B∪C)可以看作三个圆圈所覆盖的面积，由图中可以看到，用三个圆圈的面积和分别减去每两个圆圈重叠部分面积时，图中阴影部分(即三个圆圈重叠部分)的面积被减了三次，所以应补回这块面积．则有：n (A∪B∪C)= n (A)+n (B)+n(C)－n (A∩B)－n (A∩C)－n (B∩C)+n(A∩B∩C)