高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教案

这是一份高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教案，共3页。

使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.
教学重点：
函数单调性、奇偶性证明通法.
教学难点：
对数运算性质、对数函数性质的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.
1.判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设——作差——变形——判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f(－x)与f(x)或者－f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.
［师］接下来，我们一起来看例题
Ⅱ.讲授新课
［例1］判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) (2)f(x)＝ln( eq \r(1+x2) －x)
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.
解：（1）由 eq \f(1－x,1＋x) ＞0可得－1＜x＜1
所以函数的定义域为：（－1，1）关于原点对称
又f(－x)＝lg eq \f(1＋x,1－x) ＝lg（ eq \f(1－x,1＋x) ）－1＝－lg eq \f(1－x,1＋x) ＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) 是奇函数
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
解：（2）由 eq \r(1+x2) －x＞0可得x∈R
所以函数的定义域为R关于原点对称
又f(－x)＝ln( eq \r(1+x2) ＋x)＝ln eq \f(( eq \r(1+x2) +x) ( eq \r(1+x2) －x), eq \r(1+x2) －x)
＝ln eq \f(1, eq \r(1+x2) －x) ＝－ln( eq \r(1+x2) －x)＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝ln( eq \r(1+x2) －x)是奇函数
评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.
[例2]（1）证明函数f(x)＝lg2(x2＋1)在（0，+∞）上是增函数
（2）问：函数f(x)＝lg2(x2＋1)在（－∞，0）上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.
（1）证明：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝lg2(x12+1)－lg2(x22+1)
∵0＜x1＜x2 ∴x12+1＜x22+1
又∵y＝lg2x在（0，+∞）上是增函数.
∴lg2(x12+1）＜lg2(x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)＝lg2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.
（2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程.
评述：此题可引导学生总结函数f(x)＝lg2(x2+1)的增减性与函数y＝x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.
[例3]求函数y＝lg（x2－2x－3）的单调区间.
解：定义域x2－2x－3＞0 解得x＞3或x＜－1
单调减区间是（3，＋∞）
[例4] 已知y＝lga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 ∴函数t＝2－ax是减函数
由y＝lga(2－ax)在[0，1]上x的减函数，知y＝lgat是增函数，∴a＞1
由x＝1时，2－ax＝2－a＞0，得a＜2
∴1＜a＜2
Ⅲ.课堂练习
（1）证明函数y＝lg (x2+1)在（0，+∞）上是减函数；
（2）判断函数y＝lg (x2+1)在（－∞,0）上的增减性.
证明：（1）设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝lg (x12+1)－lg (x22+1)＝lg eq \f(x12＋1,x22＋1)
∵0＜x1＜x2，∴0＜x12＜x22， ∴ eq \f(x12＋1,x22＋1) ＜ eq \f(x12＋1,x12＋1)
而lgx是减函数 ∴lg eq \f(x12＋1,x22＋1) ＞lg eq \f(x12＋1,x12＋1) ＝lg1＝0
∴f(x1)－f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2)
∴函数y＝ lg (x2+1)在（0，+∞）上是减函数
（2）设x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)＝ lg (x12+1)－lg (x22+1)
∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22＞0
而函数y＝ lgx在（0，+∞）上是减函数.
∴lg (x12+1）＜lg (x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴y＝ lg (x2+1)在（－∞，0）上是增函数.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P70 4，5，8
（二）补充
1.求y＝lg0.3(x2－2x)的单调递减区间.
解：先求定义域：由x2－2x＞0,得x(x－2)＞0
∴x＜0或x＞2 ∵函数y＝lg0.3t是减函数
故所求单调减区间即t＝x2－2x在定义域内的增区间.
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1
∴所求单调递减区间为（2，+∞）
2.求函数y＝lg2(x2－4x)的单调递增区间
解：先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0
∴x＜0或x＞4 又函数y＝lg2t是增函数
故所求单调递增区间为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间.
∵t＝x2－4x的对称轴为x＝2
∴所求单调递增区间为：（4，+∞）
3. 已知y＝lga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 当a＞1时，函数t＝2－ax >0是减函数
由y＝lga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，知y＝lga t是增函数，
∴a＞1 由x∈［0，1］时，2－ax ≥2－a＞0，得a＜2, ∴1＜a＜2
当00是增函数
由y＝lga (2－ax)在［0，1］上x的减函数，知y＝lga t是减函数，
∴0综上述，0