苏教版3.3 幂函数教案设计

2．6 对数函数与幂函数

【知识网络】

1．对数的概念、运算法则；2．对数函数的概念；3．对数函数的图象及其性质；4．运用对数函数的性质解决问题．

【典型例题】

例1．（1）下列函数中既是偶函数又是上是增函数的是（C ）

 A．     B．      C．      D．

提示：A、D中的函数为偶函数，但A中函数在为减函数，故答案为C．

（2）函数的图象是（ A ）

（3）函数的图像关于（ C ）

A．轴对称      B．轴对称       C．原点对称      D．直线对称

提示：，由得函数的定义域为

∵ ，∴ 为奇函数，答案为C．

（4）函数的值域是

提示：令，，．

（5）下列命题中，正确命题的序号是 ④  

①当时函数的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；

③若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．

提示：①错，当时函数的图象是一条直线（去掉点（0，1））；

②错，如幂函数的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数在定义域上不是增函数；④正确，当时，．

例2．已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，试确定的解析式．

解：由数，解得：．

当和3时，；当时，．

例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数．

证明：

在（0，1）上任取且，则：

∵ ，∴ ，，，∴

∴ ，∴，即

∴ 在上是增函数．

例4．设其中，并且仅当在的图象上时，在的图象上．

（1）写出的函数解析式；（2）当在什么区间时，

解：（1）设，那么

    ∵ 在的图象上，∴

    ∴  ，∴，  ∴  

（2），由题意得，需满足：

∴  当时，．

【课内练习】

1．如果，，那么（ C ）

 A．    B．     C．    D．

提示：当时，，答案为C．

2．设且那么等于（ B ）

 A．    B．     C．     D．

提示：∵ ，∴

,答案为B．

3．对于幂函数，若，则，大小关系是（A）

A．          B．

C．         D．无法确定

4．下列函数中，在上为增函数的是（ D ）

A．  B．  C．   D．

提示：A、C中函数为减函数，不是B中函数的子集，故答案为D．

5．函数的单调递减区间是

提示：由得：，∵ 函数在上为增函数，函数在上为减函数，故所给函数的单调减区间为．

6．函数的定义域是

提示：由得：，  ∴

7．若，则的取值范围是

 提示：当时, ；  当,, ∴ .

8．计算：（1）；

（2）

解：（1）原式＝

（2）原式＝

9．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

（1）定义域为，非奇非偶函数，在上为增函数，对应图（A）；

（2）定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F）；

（3）定义域为R，偶函数，在上为增函数，对应图（E）；

（4）定义域为，偶函数，在上为减函数，对应图（C）；

（5）定义域为，奇函数，在上为减函数，对应图（D）；

（6）定义域为，非奇非偶函数，在上为减函数，对应图（B）．

 综上：（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）．

10．已知函数，求函数的最大值和最小值，并求出相应的值．

解：由解得，则函数的定义域为

令，则，关于在[0，1]上为增函数，

当时，，此时，，；

当时，，此时，，．

综上：当时，函数有最小值6，当时，函数有最大值13．

作业本

A组

1．函数的定义域是（ B ）

A．                B． 

C．       D．

提示：由得：,解得：，答案为B．

2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ B ）

A．    B．    C．    D．

提示：形如的函数叫做幂函数，答案为B．

3．如果函数，那么的最大值是（ A ）

 A．0            B．          C．          D．1

提示：

令，当时，关于单调增，当时，

此时，取到最大值0．

4．函数在区间上的最大值是

提示：函数在区间上单调减，当时，．

5．函数是 奇（填奇或偶）函数．

提示：∵，∴ 恒成立，故函数的定义域为R．

又∵，∴为奇函数．

6．（1）若，试比较，，的大小；

  （2）若，且，，都是正数，试比较，，的大小．

解：（1）由得，∴ 且

故．

  （2）令，由于，，都是正数，则，，，，

   ∴，∴；

   同理可得：，∴，∴．

7．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）

（1）；（2）．

解：（1）函数的图象可以由的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到．

（2），把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数的图象．

8．已知函数（且）．

求证：（1）函数的图象在轴的一侧；

     （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．

证明：（1）由得：，

∴当时，，函数的定义域为，此时函数的图象在轴右侧；

当时，，函数的定义域为，此时函数的图象在轴左侧．

∴函数的图象在轴的一侧．

（2）设、是函数图象上任意两点，且，

则直线的斜率，，

当时，由（1）知，∴，∴，

∴，∴，又，∴；

当时，由（1）知，∴，∴，

∴，∴，又，∴．

∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．

B组

1．已知函数则的值是（B）

A．9    B．    C．－9    D．

提示：，．

2．已知，且等于（ D ）

A．         B．         C．      D．

提示： ∴

∴ 即∴ ∴

3．已知在上有，则是（C ）

A．在上是增加的            B．在上是减少的

C．在上是增加的           D．在上是减少的

提示：当时，，由知，函数在上没有单调性，在上为增函数．答案为C．

4． 右图为幂函数在第一象限的图象，

则按由小到大的顺序排列为

5．函数在上恒有，则的取值范围是

提示：当时，函数在上单调减，

则；

当时，函数在上单调增，

则

综上：或

6．（1）若，比较的大小；（2）若，比较的大小．

解：（1）当时，幂函数在上单调减，∵，∴．

（2）当时，，指数函数在上单调减，

∵，∴，∴ ， ∴

7．求函数的值域和单调区间．

解：（1）由>0得，所以函数的定义域是(0,1)

因为0<=，

所以，当时, ，函数的值域为．

当时,   函数的值域为

（2）令，则，

当时，函数在为减函数，在上是增函数，在上是减函数，故所给函数在在上是减函数，在上是增函数；

当时，函数在为增函数，在上是增函数，在上是减函数，故所给函数在在上是增函数，在上是减函数．

8．已知函数.

（1）求函数f (x)的定义域；（2）求函数f (x)的值域．

解：（1）由

∵ 函数的定义域不能为空集，故，函数的定义域为．

（2）

令

①当，即时，在上单调减，，即，

∴ ，函数的值域为；

②当即时，，即

∴ ，函数的值域为．

综上：当时，函数的值域为；

当时，函数的值域为．