苏教版必修13.2.2 对数函数教案及反思

对 数（二）

教学目标：

使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.

教学重点：

证明对数运算性质.

教学难点：

对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

1．对数的定义  log a N＝b  其中 a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）

2．指数式与对数式的互化

ab＝N       log a N＝b

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数；

⑵log a 1＝0，log a a＝1

⑶对数恒等式

(4) log a ab＝b

Ⅱ.讲授新课

1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)

［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.

证明：(1)设logaM＝p，logaN＝q

由对数的定义得：M＝ap，N＝aq    ∴MN＝ap·aq＝ap+q

再由对数定义得logaMN＝p＋q，即证得logaMN＝logaM＋logaN

(2)设logaM＝p，logaN＝q  由对数的定义可以得

M＝ap，N＝aq，    ∴ ＝＝ap－q，

再由对数的定义得       loga＝p－q

即证得loga＝logaM－logaN

(3)设logaM＝p   由对数定义得M＝ap

∴Mn＝（ap）n＝anp      再由对数定义得

logaMn＝np       即证得logaMn＝nlogaM

评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.

其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.

(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)

［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：

［例1］求下列各式的值

（1）log525                    （2）log0.41       

（3）log2(47×25)               （4）lg

分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式.

解：（1）log525＝＝2

（2）log0.41＝0

（3）log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19

（4）lg＝lg102＝lg10＝

［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别.

［例2］用log a x，log a y，log a z表示下列各式：

（1）log a             （2）log a  

解：（1）log a ＝log a（xy）－ log az＝log a x＋log ay－log az

（2）log a ＝log a （x2·）－log a

    ＝log a x2＋log a －log a ＝2 log a x ＋log ay －log az

［例3］计算：

（1）lg14－2lg＋lg7－lg18   （2）   （3）

说明：此例题可讲练结合.

(1)解法一：lg14－2lg＋lg7－lg18

＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)

＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0

解法二：

lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg（）2＋lg7－lg18

＝lg＝lg1＝0

评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.

（2）＝＝＝

（3）＝

＝＝

评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.

Ⅲ.课堂练习

课本P60练习1，2，3，4，5

补充：1.求下列各式的值：

（１）log 2６－log 2３                    （２）lg５＋lg２

（３）log 5３＋log 5                               （４）log 3５－log 315

解：（１）log 2６－log 2３＝log 2＝log 2２＝１

（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１

（3）log 5３＋log 5＝log 5 (３×)＝log 5１＝０

（4）log 3５－log 315＝log 3 ＝log 3 ＝－log 3３＝－１

   2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：

(1) lg （x y z）   （２）lg   （３）lg   （４）lg

解：(1) lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lgｚ

(2) lg ＝lg x y2－lg z＝lg x＋lg y2－lg z

＝lg x＋２lg y－lgｚ

(3) lg＝lg x y3－lg ＝lg x＋lg y3－ lgｚ

＝lg x＋３lg y－ lgｚ

(4) lg＝lg－lg y2 z＝lg x－（lg y2＋lg z）

＝lg x－2lg y－lg z

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P63习题  3，5

（二）预习内容：课本P61

补充作业：

1.计算：

(1) log a２＋log a （a＞０，a≠１） （２）log 318－log 3２

(3) lg －lg25                   (4)２log 510＋log 50.25

（5）２log 525＋３log 264           (6) log 2（log 216）

解：(1)  log a２＋log a ＝log a（２×）＝log a１＝０

（2）log 318－log 3２＝log 3＝log 3９＝２

（3）lg －lg25＝lg（÷２５）＝lg ＝lg10－2＝－２

（4）２log 510＋log 50.25＝log 5＋log 50.25

＝log 5 (100×0.25)＝log 525＝２

（5）２log 525＋３log 264＝２log 5＋３log 226

＝２×２＋３×６＝22

（6）log 2（log 216）＝log 2（log 2）＝log 2４＝log 2＝２

2.已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)

(1) lg６              （２）lg４             （３）lg12

（４）lg            （５）lg           （６）lg32

解：（１）lg６＝lg２＋lg３＝0.3010+0.4771＝0.7781

(2) lg４＝２lg２＝２×0.3010＝0.6020

    (3) lg12＝lg(３×4)＝lg３＋２lg２＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791

(4) lg ＝lg３－lg２＝0.4771－0.3010＝0.1761

(5) lg ＝ lg３＝×0.4771＝0.2386

(6) lg32＝５lg２＝５×0.3010＝1.5050

3.用log a x，log a y，log a z，log a（x＋y），log a（x－y）表示下列各式：

（1）；              （２）（）；

（3）（）；        （４）；

（5）（）；       （６）［］３.

解：(1) ＝－ｚ

＝ｘ－（２ｙ＋ｚ）＝ｘ－２ｙ－ｚ；

(2) （ｘ·）＝ｘ＋

＝ｘ＋（－）＝ｘ－ｙ＋ｚ

＝ｘ－ｙ＋ｚ；

(3) （ｘ）＝ｘ＋＋

＝ｘ＋ｙ－ｚ；

(4) ＝xy－（－）

＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）

＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）；

(5) （·ｙ）＝＋ｙ

＝（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）＋ｙ；

(6) ［］

＝３［ｙ－ｘ－（ｘ－ｙ）］

＝３ｙ－３ｘ－３（ｘ－ｙ）