高中数学苏教版必修13.2.2 对数函数教学设计

第23课时  对 数（三）

教学目标：

使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.

教学重点：

换底公式及推论.

教学难点：

换底公式的证明和灵活应用.

教学过程：

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

对数的运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)

Ⅱ.讲授新课

1.对数换底公式：

log a N＝  (a＞0，a≠1，m＞0 ，m≠1，N＞0)

证明：设log a N＝x , 则 ax＝N

  两边取以m为底的对数：log m ax＝log m Nx log m a＝log m N

  从而得：x＝  ∴ log a N＝

2.两个常用的推论:

① log a b·log b a＝1

② log bn＝log a b（ a、b＞0且均不为1）

证：①log a b·log b a＝＝1

    ②log bn＝＝＝log a b

Ⅲ.例题分析

例1 已知 log 23＝a， log 37＝b,  用 a, b 表示log 4256

解：因为log 23＝a，则＝log 32  , 又∵log 37＝b,

  ∴log 4256＝＝＝

例2计算：① 5      ② log 43·log 92－log

  解：①原式＝

      ②原式＝log 23·log 32＋log 22＝＋＝

例3设 x、y、z∈（0，＋∞）且3x＝4y＝6z      

1  求证  ＋＝；  2   比较3x，4y，6z的大小

     证明1：设3x＝4y＝6z＝k    ∵x、y、z∈（0，＋∞）  ∴k＞1

          取对数得：x＝， y＝， z＝

          ∴＋＝＋＝＝＝＝

     2  3x－4y＝（－）lgk＝lgk＝＜0

          ∴3x＜4y   

         又：4y－6z＝（－）lgk＝lgk＝＜0

         ∴4y＜6z                ∴3x＜4y＜6z

例4已知log a x＝log ac＋b，求x

分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c移到等式左端，或者将b变为对数形式

解法一：

由对数定义可知：

解法二：

由已知移项可得log ax－log ac＝b，  即log a ＝b

由对数定义知：＝ab   ∴x＝c·ab

解法三：

∵b＝log a ab   ∴log ax＝log ac＋log a ab＝log a c·ab    ∴x＝c·ab

Ⅳ.课堂练习

①已知 log 189＝a , 18b＝5 ,  用 a, b 表示log 3645

解：∵log 189＝a   ∴log 18＝1－log 182＝a   ∴log 182＝1a

    ∵18b＝5         ∴ log 185＝b  

    ∴log 3645＝＝＝ 

②若log 83＝p ，log 35＝q, 求 lg5

解：∵log 83＝p   ∴ ＝p  log23＝3plog 32＝

  又∵log 35＝q   ∴ lg5＝＝＝

Ⅴ.课时小结

  本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

Ⅵ.课后作业

  1．证明：

   证法1：  设 ，，

    则：        

       ∴      从而

   ∵      ∴  即：（获证）

证法2： 由换底公式 左边＝＝右边

 2．已知

   求证：

  证明：由换底公式 由等比定理得：

        ∴

 ∴